§ 3.4 Неравенства с r/r

В этой главе мы дадим новое доказательство известного неравенства используя метод линейного приближения, но на самом деле мы получим более обобщенную форму.

Предположим что мы знаем следующие неравенства:

(1) ≥

(2) ≥ 6

Для использования метода линейного приближения мы трансформируем эти неравенства в следующие:

(1^*)

(2^*)

Получив линейную зависимость между коэффициентами правой части неравенства мы приходим к следующему:

Задача №1: Найдите все d R для которых неравенство

≥ , имеет место для всех треугольников где a,b,c- стороны, а R и r радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение: используем следующие формулы:

R= , r= S²=(p-a)(p-b)(p-c)p, p= a+b+c/2

Мы можем трансформировать это неравенство в следующий вид:

Установим a=2; b=3; c=3 мы получаем d ≤18.

После замены a=x+y; b=x+z; c=z+x; мы получаем:

Достаточно доказать последнее неравенство для d = 18, так как коэффициент d в последнем неравенстве не отрицательный. Подставим d = 18 и нормализуя это неравенство на x+y+z=1 после простых вычислений мы пришли к неравенству что было доказано в § 3.1

Ответ: d (- , ]

Итак мы доказали первую часть следющего неравенства:

≥ 2. Вторую часть легко доказать:

(a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ca) (a-b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥ 0

Примечание: В неравенстве равенство имеет место не только при a=b=c но также для треугольников со сторонами a,b,c, например 2, 3, 3. Нам кажется, что это новое неравенство такого типа с таким свойством.

( смотрите [7], задача 94,95)

Задача 2: (Без решения) Найдите все d R для которых неравенство

, имеет место для всех треугольников.

Примечание: Мы знаем, что это неравенство имеет место для d = 9, и d = 8.

Упражнение: Найдите все d R для которых неравенство верно

Указание: Используйте формулу a²+b²+c² = 2(p²-r²- 4Rr)

Заключение

В первой главе мы получили следствия из теорем Дезарга и Паскаля, решили задачи на построение. Во второй главе доказаны современные геометрические неравенства. При этом некоторые задачи вызвали затруднение, поэтому мы решили найти более действенный способ для решения этих задач. Поэтому, в третьей главе мы дали полный алгоритм решения этих задач путём линейного приближения, который с успехом был использован в ряде примеров.

Как сказано в работе, у нас есть несколько нерешенных задач, которые требует решения, возможно, наш следующий проект будет направлен на решение этих задач, проведение параллелей между алгеброй и геометрией.

Также метод линейного приближения может стать толчком для решения новых неравенств, поэтому можно направить наши знания на поиски новых недоказанных неравенств и новых теорем способных помочь в доказательствах, представить их заключения и следствия.

Считаем что наша работа, как и вся тема алгебраических и геометрических неравенств должна быть внимательно рассмотрена, так как в ней есть результаты достойные изучения.

- 37 -