§3.2 Линейное приближение некоторых алгебраических неравенств.

В предыдущем параграфе в задаче №1 и их замечаниях мы доказали что неравенство

где > , имеет место для чисел ( =1)

Теперь мы докажем на примере других задач главные идеи нашего решения в деталях.

Допустим, мы знаем следующие неравенства:

1) (Великобритания -99)

2) (ММО-84)

Где легко доказать что первое неравенство следствие второго, когда второе приближение первого.

Существует ли дальнейшее приближение этих неравенств?

Для этого мы найдем линейную зависимость между коэффициентом и правой стороной неравенства. Эта зависимость выражается следующим образом:

если мы обозначим коэффициент в левой стороне неравенства за , тогда правая часть неравенства будет

Теперь мы можем сформулировать нашу задачу

Задача 1 Найдите все действительные числа d для которых неравенство , имеет место для всех и

Решение: Замена ;

Тогда основное неравенство не верно для >

Теперь мы покажем, что оно верно для

= ;

Первым делом, мы докажем, что левая часть неравенства увеличивается, если мы заменим тройку чисел на . Мы можем предположить что ,потому что, одно из чисел, иначе > > ,

что противоречит условию.

=> Заметив что , мы приходим , что верно по нашему предположению.

Теперь мы докажем, что основное неравенство имеет место для тройки чисел . Во-первых, пусть тогда .

Основное неравенство получает вид:

раскрыв скобки и сократив получаем

. Разложив на множители получаем , что верно, так как Вобщем , мы доказали что:

Теперь мы докажем, что для < основное неравенство имеет место. Мы трансформируем его в следующую форму:

Правая часть этого неравенства увеличивается когда d уменьшается, так как pqr ≤ . Итак если это неравенство имеет место для d= , оно имеет место и для d < . Ответ:

Примечание: Метод который мы использовали для решения последней задачи называется “Методом линейного приближения”. Этот метод состоит из выделения основного неравенства из некоторых особых свойств, и его доказательства.

Упражнение: Найти все d R для которых неравенство

p³ + q³ + r³+ pqrd ≥ ^, имеет место для всех неотрицательных p,q,r, где p+q+r=1.

Указание: Доказать что это неравенство эквивалентно предидущему.

§3.3 Линейное приближение геометрических неравенств.

Пусть a,b,c стороны трегольника. Обозначим за p полупериметр этого треугольника: p=(a+b+c)/2. R и r радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

Допустим, нам даны следующие неравенства ( мы докажем их позже):

p² ≥ 27r²; p² ≥ 9Rr+9r² ; p² ≥12Rr+3r²

Шаг1: Мы хотим найти линейную зависимость между коэффициентами Rr и r², в правой части этих неравенств. Зависимость будет заключаться в следующем: если мы обозначим коэффициент r² за (-d), то коэффициент Rr будет (27+d)/2

Шаг2: Теперь мы можем сформулировать нашу задачу.

Задача 1: Найдите все d R что неравенство P² ≥ (27+d)Rr/2-dr² имеет место для любого треугольника

Решение: Нам известны следующие неравенства:

r=S/p, R=abc/4R, S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2

Используя эти формулы, мы можем трансформировать наше неравенство в следующий вид:

(*) (a+b+c)² ≥ 27abc+d(abc-(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))

Шаг3: В неравенстве (*) заменим a=b=1, c=2. ( это соответствует к сторонам так называемого невидимого треугольника, который возможен теоретически). Мы получаем:

64 ≥ 54+d (2-0) <=> 5 ≥ 5

Поэтому это неравенство не возможно при d > 5

Шаг 4: Теперь мы докажем это неравенство для d = 5. Это эквивалентно неравенству:

P² ≥ 16Rr- 5r².

Мы знаем из элементарной геометрии следующую формулу для нахождения расстояния между центром вписанной окружности и центром масс треугольника:

|IG|² = (p²+5r²-16Rr)

(Шарыгин И.С.[3] стр. 59)

Из формулы и из нервавенства |IG|² ≥ 0 получаем

(p²+5r²-16Rr) ≥ 0 ; или p² ≥ 16Rr-5r²

Шаг 5: легко доказать следующее

Лемма: abc ≥ (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) где a,b,c стороны треугольника.

Доказательство: Для этого воспользуемся заменой:

a = x+y,

b = x+z ,

c = z+y

где x,y,z отрезки на которые вписанная окружность делит стороны треугольника в точках касания.

После замены нам остется доказать что: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ . Заметим что

x+y ≥

x+z ≥

y+z ≥

Умножив эти неравенства мы получим результат. Лемма доказана.

Тогда коэффициент d в неравенстве (*) положителен, то есть правая часть растет если d увеличивается. Отсюда (*) верно для всех d < 5

Ответ: .

Упражнение: Най дите все d R что неравенство

a²+b²+c² – d[ (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥ . S, имеет место для всех треугольников, где a,b,c стороны и S площадь треугольника.

Указание: Подставим a=b=1; c=0 и используйте неравенство Финслер-Хадвигера которое смотри [7] задачу 100