§ 1.4 Шестиугольник и окружность.

В этом параграфе мы допустим, что А₂В₁||А₁В₂ , А₁С₂||А₂С₁ , В₂С₁||В₁С₂ и А₁В₂, В₁С₂ , С₁А₂ пересекаются в точке М.

Задача 1: Построить точку М так, что А₁А₂В₁В₂С₁С₂ как в параграфе 1.2 (задача 1) будет вписанным.

Решение: Анализ.

Так как С₂А₁||С₁А₂ => дуги С₂С₁ и А₁А₂ равны => |С₂С₁|=|А₁А₂| . Аналогично |А₁А₂|=|В₁В₂| . Заметим что |ВС₂|∙|ВС₁ |=|ВА₁|∙|ВА₂ | , из равенства что С₂С₁=А₂А₁ получаем, что ВС₂=ВА₁ , аналогично АС₁=АВ₂ , СВ₁=СА₂ . Так как А₀ , В₀ , С₀ середины А₁А₂ , В₁В₂ , С₁С₂ соответственно в конце концов мы получаем равенство:

|ВС₀| = |ВА₀| , |АС₀ |=|СВ₀|, |СВ₀|=|СА₀|

Легко доказать, что точки А₀ , В₀ , С₀ являются точками касания вписанной окружности ∆АВС со сторонами СВ , АС , АВ соответственно. Рис. 1.17

П остроение.

Впишем в ∆АВС окружность которая касается сторон ВС, СА, АВ в точках А₀ , В₀ , С₀ соответственно. Потом чертим линии АА₀ , ВВ₀ , СС₀ которые пересекаются в нужной нам точке М (рисунок 1.18). Эта точка в элементарной геометрии называется точкой Жергонна. Рис. 1.18

Задача 2. Построить точку М, для которой шестиугольник AZBXCY будет описанным.

Решение: Анализ. Пусть ABCXYZ лежат на одной окружности. Тогда углы

YBC = YZC = β₁ XAC = XZC = α₂

ABY = AXY = β₂ ACZ = ZXA = γ₁

BAX = BYX = α₁ ZCB = ZYB = γ₂

Из параллельности прямых углы

A₀C₀C = α₂ B₀A₀A = β₂

B₀C₀C = β₁ A₀B₀B = α₁

C₀A₀A = γ₁ C₀B₀B = γ₂

На рисунке 1.19

Мы видим, что углы С₀А₀А = С₀СА. тогда точки А, С₀ , А₀ , С на одной окружности. Тогда γ₂ = α₁ , аналогично β₁ = α₂ , β₂ = γ₁ .

Но мы знаем, что угол АВС + угол ВСА + угол САВ = α₁ + α₂ + β₁ + β₂ + γ₁ + γ₂ = 180° . Тогда α₁ + β₁ + β₂ = γ₁ + γ₂ + α₂ = 90° . Поэтому угол АА₀С = α₁ + β₁ + β₂ = 90° . Итак АА₀ перпендикулярна ВС. Аналогично ВВ₀ перпендикулярна

АС , СС₀ перпендикулярна АВ . рис. 1.19

Тогда точка М ортоцентр.

Построение.

Начертим высоты АА₀ , ВВ₀ , СС₀ . Их точка пересечения нужная точка М. Легко доказать от обратного, что построенная точка М удовлетворяет всем условиям.

Задача 3. (Нерешенная) Построить точку М, для которого в А₁А₂В₁В₂С₁С₂ можно вписать окружность (рисунок 1.20)

Рис.1.20

Задача 4.(Нерешенная) Построить точку М, для которой в шестиугольник AZBXCY можно вписать окружность (рисунок 1.21) *Замечание 1.

Мы уверены, в существовании точки М. Некоторую надежду даёт нам в этом результаты § 1.5. это может быть, как и известные точки, (как в первой и во второй задачах) так и новые, которые неизвестны науки.

*Замечание 2.

Другие свойства шестиугольников со сторонами параллельными к диагоналям рассмотрены Зетел С.И. [2]

Рис.1.21