§1.3 Шестиугольник, вписанный в треугольник.

Эти задачи обобщают результаты предыдущих задач.

Задача 1. Доказать, что на рисунке 1.13 прямые AK, BL, CM пересекаются в одной точке, тогда и только тогда когда T, U, V лежат на прямой

Рис 1,13

Решение 1.Пусть T, U, V коллинеарны.Заметим, что треугольники MB₁A₂ и ZB₂A₁ перспективны относительно прямой , тогда по теореме Дезарга эти треугольники перспективны относительно точки C, из этого следует, что прямая ZM проходит через точку C ( рисунок 1.14). Аналогично, XK проходит через A, YL через B.

Рис 1,14

Треугольники KLM и XYZ также перспективны относительно прямой TUV. По Дезаргу прямые ZM, YL, XK конкурентные, отсюда и CM, BL, AK пересекаются в одной точке.

Теперь предположим, что прямые AK , BL , CM конкуренты. Прямая CM пересекает AB в точке C₀ . Точки A₀ , B₀ будут определены аналогично. Пусть продолжения сторон треугольников KLM , KB₂C₁ , A₁LC₂ , A₂B₁M пересекаются с продолжениями сторон треугольника A₀B₀C₀ в точках T_i , U_i , V_i , i=1,2 (рисунок 1.15).

рис. 1.15

На рисунке 1.15 заметим, что треугольники A₀B₀C₀ и KLM перспективны относительно точке O . Тогда по теореме Дезарга эти треугольники перспективны относительно прямой, тогда T₂ , U₁ , V₂ коллинеарны. Аналогично, из перспективности треугольников A₀B₀C₀ и KB₂C₁ отноительно точки А треугольников A₀B₀C₀ и KB₂C₁ , следует что T₂ , U₂ , V₂ лежат на одной прямой. Аналогично от A₀B₀C₀ и A₁LC₂ , следует T₂ , U₁ , V₁ – коллинеарны, из перспективности A₀B₀C₀ и A₂B₁M следует, что T₁ , U₁ , V₂ – коллинеарны.

Мы получили что

(1) T₂ U₁ V₂ – коллинеарны

(2) T₂ U₂ V₂ – коллинеарны

(3) T₂ U₁ V₁ – коллинеарны

(4) T₁ U₁ V₂ – коллинеарны

Из (1) и (2) => U₁ и U₂ – совпадают в точке U .

Из (1) и (3) => V₁ и V₂ – совпадают в точке V .

Из (1) и (4) => T₁ и T₂ – совпадают в точке T .

Из (1) следует, что T₂ , U₁ , V₂ , а отсюда T , U , V коллинеарны. Что и требовалось доказать.

2 Решение.

П усть T , U , V лежат на одной прямой. Заметим, что точки пересечения противоположных сторон «самопересекающихся» шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ коллинеарные точки U , V , T где A₂B₁ противоположена к A₁B₂ и B₂C₁ к B₁C₂ , также C₁A₂ к C₂A₁ . отсюда вершины шестиугольника лежат на эллипсе (следствие из теоремы Паскаля).

Теперь мы рассмотрим этот шестиугольник с другой стороны. Вершины шестиугольника А₁А₂В₁С₂С₁В₂ лежат на одном эллипсе. В этом шестиугольнике противоположными сторонами являются А₁А₂ и С₁С₂ , А₂В₁ и С₁В₂ , рис. 1.16

В₁С₂ и В₂А₁ . точками пересечения этих противоположных сторон является коллинеарные точки B , Y , L (по теореме Паскаля). Отсюда YL проходит через B . Аналогично XK проходит через A; ZM проходит через C . Затем также, что треугольник KLM и треугольник XYZ перспективные относительно прямой TUV . Тогда по Дезаргу прямые ZM , YL , XK или CM , BL , AK пересекаются в одной точке.

Пусть AK , BL , CM конкуренты, тогда треугольники ABC и KLM

перспективны относительно точки. Тогда по Дезаргу эти треугольники перспективны для прямой, которая проходит через пересечение прямых AB и KL , BC и LM , CA и MK . Отсюда точки пересечения этих прямых коллинеарны. По теореме Паскаля вершины шестиугольника A₁A₂C₁C₂B₁B₂ лежат на эллипсе. Тогда точки пересечения противоположенных сторон шестиугольника A₁C₂B₁A₂C₁B₂ или U , T , V коллинеарны. Что и требовалось доказать.

• Замечание

Для задачи 1 в § 1.3 мы можем дать « двойную » формулировку, что значит новый геометрический факт. Это стандартный метод в проективной геометрии заменить « точку » « прямой » для получения новых задач.