Глава I – Коллиниарность и конкурентность.

§ 1.1 Известные теоремы и свойства

Теорема Чевы: На рисунке 1.1, если линии AF, BD, CE конкурентны и пересекаются в точке G, тогда

Рис 1,1

Т еорема Менелая: Если точки X, Y, Z находятся на прямых BC, CA, AB и коллинеарны, то

Рис1,2

И обратно, если это уравнение верно для точек X, Y, Z лежащих на трех сторонах, тогда эти три точки коллиниарны (Рис 1,2).

Гомотетия треугольников: Если стороны двух треугольников связаны некоторым соотношением b и стороны параллельны, то существует некая гомотетия с коэффициентом b которой переводит один треугольник в другой.

Т еоремы о гомотетичных треугольниках: прямые проходящие через соответствующие вершины гомотетичных треугольников пересекаются в одной точке.

Рис 1,3

На рисунке 1.3 AB||A'B', BC||B'C', CA||C'A' и по теореме о гомотетии треугольников прямые AA', BB' и CC' пересекаются в точке О.

Перспективные треугольники: Два треугольника и перспективны относительно точки О, если прямые AA’, BB’, CC’ пересекаются в этой точке.(рис 1.4 а)

Два треугольника и перспективны относительно прямой если X,Y,Z лежат на этой прямой где Z точка пересечения AB и А’B’, Y точка пересечения AC и A’C’, X точка пересечения прямых BC и B’C’.

a) b)

Рис 1,4

Т еорема Дезарга: Если два треугольника на плоскости расположены таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкурентны, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон, коллинеарны.

Обратное тоже верно,

Если два треугольника на плоскости расположены таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкурентны.

Рис1,5

Теорема Паскаля: Если все шесть точек лежат на эллипсе и три пары противоположенных сторон пересекаются, то эти точки пересечения коллинеарны и обратно.

Рис1.6

На рисунке 1.6 a) b) если точки A, B, C, D, E, F лежат на овале, то M, N, L коллинеарны и обратно.

Теорема Брианшона: Если в шестиугольник вписан овал, то три диагонали конкурентны и обратно.

Рис 1,7 а

Теорема Понселе: Если существует треугольник, который вписан и описан около двух эллипсов, то бесконечно много таких треугольников для данных эллипсов.

Рис 1,7 б

§ 1.2 Шестиугольник со сторонами параллельными диагоналям.

Мы начинаем с задачи и её общего вида, который будет полезен нам в дальнейшем.

Задача 1. Дана точка М внутри треугольника ABC постройте прямые A₁B₂; B₁C₂; C₁A₂ которые пересекаются в точке М что A_i, B_i, C_i для i=1,2, лежат на BC, CA, AB соответственно и A₁B₂||A₂B₁ , B₁C₂||B₂C₁ , C₁A₂||C₂A₁ (рисунок 1.8)

Р ешение: Анализ задачи: Пусть C₂A₁ , C₁B₂ , B₁A₂ пересекаются в точках X, Y, Z как на рисунке 1.9 и пусть A₀B₀C₀ будут серединами A₁A₂ , B₁B₂ , C₁C₂ соответственно. Тогда A₀B₀||A₂B₁||A₁B₂ ; B₀C₀||B₂C₁||B₁C₂ ; C₀A₀||C₂A₁||C₁A₂ , так как A₀B₀ средняя линия трапеции A₁A₂B₁B₂, B₁B₂C₁C₂, C₁C₂A₁A₂. Тогда треугольники A₁ZB₂ , A₀C₀B₀ гомотетичны и из теоремы о гомотетичных треугольниках следует, что A₁A₀ , B₂B₀ , ZC₀ конкурентны и пересекаются в точке С, тогда на ZC₀ лежит С. Но на ZC₀ также лежит точка M (ZC₂MC₁ параллелограмм). Тогда проходит через C₀ . Аналогично для A₀, B₀

Рис 1,9

Построение: Построение точек A₁, A₂ , B₁, B₂, C₁, C ₂, ( рисунок 1.10 ). Проведём прямые BM, AM, CM, которые пересекают AC, BC, ВА в точках B₀, A₀, C₀. Теперь проведём прямую проходящую через М параллельную к A₀C₀, пересекающую BA, BC, в точках C₁, A₂ соответственно. Аналогично можно построить точки A₁ и B₂; B₁ и C₂. Мы должны доказать, что для этих точек имеет место следующие параллельности: C₂A₁||C₁A₂; B₂C₁||B₁C₂; A₂B₁||A₁B₂ (1)

Для этого достаточно доказать, что B₂B₀=B₀B₁; A₂A₀=A₀A₁; C₂C₀=C₀C₁. Если B₂B₀=B₀B₁ и C₂C₀||C₀C₁, тогда и C₂B₁||C₀B₀ следует, что B₂C₁||C₂B₁. Аналогично A₂B₁||B₂A₁, C₂A₁||A₂C₁.

Давайте докажем, что B₂B₀=B₀B₁. Для этого проведём прямую через точку M параллельную AC, пересекающую B₀C и B₀A₀ в точках K и L, соответственно

( рис. 1.10).

Рис 1,10

Мы знаем, что MLB₀B₂, MKB₀B₁ параллелограммы, поэтому MK=B₀B₁ и ML=B₂B₀. Тогда нам нужно доказать, что MK=ML. Пусть MA пересекает B₀C₀ в точке T. По Менелаю:

=>

Из параллельности MK и AB₀ =>

Аналогично .

Тогда ( 2 )

Если мы используем теорему Менелая ещё раз, мы получим:

=1 =>

алогично .

Из двух этих равенств пользуясь (2 ) мы получаем

По теореме Чевы BC₀ ∙ AB₀ ∙ CA₀ = BA₀ ∙ AC₀ ∙ CB₀. Тогда KM = ML. Аналогично доказывается A₂A₀ = A₀A₁ , C₂C₀ = C₀C₁.

Е сли точка М не внутри треугольника АВС, анализ и построение будет также аналогичным. Рисунок будет следующим (рис 1.11)

Рис 1.11. а)

Рис 1,11.б)

Задача 2. На (рисунке 1.12) C₂A₁||C₁A₂ , C₁B₂||C₂B₁ , A₂B₁||A₁B₂. Докажем что прямые AK , BL , CM конкурентны.

Решение: Треугольник C₂A₁L и треугольник C₁A₂Y гомотетичны. Тогда из теоремы о гомотетичных углах YL проходит через точку B. Аналогично A лежит на XK, C лежит на ZM. Теперь мы рассмотрим треугольник KLM и треугольник XYZ. Эти треугольники гомотетичны, поэтому KX, LY,

Рис 1.12 и MZ конкурентны, отсюда AK, BL, CM

конкурентны

.