Введение

Этот проект состоит из трех глав: в первой главе мы хотим найти теоремы подобные теоремам Паскаля и Дезарга, во второй главе мы рассмотрим геометрические неравенства, и в третьей главе мы хотим найти способ использования нового метода связанного с решением алгебраических и геометрических неравенств. Мы начинаем наш проект с решения задачи на построение. Важность этой задачи очевидна. Потому что, без построения мы не сможем иметь полного представления о вероятности того или иного случая. Мы можем сравнить задачи на построения с теоремами на существующими в высшей математике.

В задаче №1, § 1.2 мы рассмотрим вероятность шестиугольника вписанного в треугольник с тремя сторонами параллельные диагоналям, которые пересекаются в точке М. Случай, когда точка М расположена внутри треугольника, рассмотрели в деталях. Мы получили, что когда точка находится снаружи треугольника доказательство и построение будут аналогичными. Далее в задаче №2 мы рассмотрим обобщенный случай, а именно мы рассмотрим ситуацию, когда диагонали не пересекаются в одной точке. В этом случае диагонали пересекаются в 3 разных точках M, K, L. Мы получили, что прямые AK, BL, CM конкурентны. Далее мы рассмотрим случаи, когда стороны не параллельны. В конце концов, мы получили, что прямые AK, BL, CM конкурентны <=> когда точки T, U, V коллинеарны.

Д ля доказательства данного утверждения мы использовали теоремы Дезарга и Паскаля. Как мы знаем когда Паскаль доказал свою теорему о шестиугольниках ему было 16 лет. А его наставником был Дезарг. После этого Паскаль вывел около 400 следствий из этой теоремы. После его смерти последний кто видел его работу, был Лейбниц. Он был хорошего мнения об этой работе, и посоветовал родственникам Паскаля опубликовать этот труд. Но его рукопись не была опубликована и вскоре была потеряна. Сейчас нам остаётся только догадываться, какие результаты получил Паскаль из этой теоремы. В первой главе мы рассмотрели задачи, которые сводятся к теоремам Паскаля и Дезарга. Поэтому в этом проекте существует исторический подтекст.

М ы раскрываем задачу 1, § 1.2 также в другом направлении. Мы нашли, что данный шестиугольник вписан в окружность и треугольник <=> когда основные диагонали пересекаются в точке Жергона треугольника.

З атем мы рассмотрим точку М, для которой шестиугольник AZBXCY может быть вписан в окружность. Мы получили, что эта точка есть ортоцентр треугольника ABC.

Оба результата были неожиданными для нас. Эти точки могли быть вовсе неизвестными, но это не так. Естественно, мы рассмотрим случай, когда в шестиугольник вписана окружность. Но мы не смогли решить ее, поэтому она представлена как нерешённая задача для последующего решения.

В § 1.5 мы рассмотрим этот шестиугольник и его свойства относительно вписанной и описанной окружностей. Этот результат был прямо связан с хорошо знакомыми нам теоремами использующие в геометрии на построение: Брианшиона и Понселе.

М ы не рассматривали случаи, когда этот « коникс » будет парабола или гипербола. Мы думаем, что это не очень важно, т.к. все теоремы, использованные нами верны для этих случаев, поэтому мы можем их использовать. Так в нашей работе слово « коникс » сходна по значению с эллипсом.

Во второй главе нашей работы заключаются решения современных задач по элементарной геометрии. В нашем проекте мы сравнили площади треугольников, которые мы получили в задаче 1, § 1.2. мы заметили, что для площадей этих треугольников верна цепь неравенств, данная в конце второй главы. Если мы рассмотрим эти неравенства, мы увидим насколько чётко они раскрывают геометрическое построение. Здесь дана часть этой цепи неравенств:

S₁ + S₂ + S₃ ≤ T ₁ + T₂ + T₃ ≤ P₁ + P₂ + P₃.

Сначала мы докажем эти неравенства используя стандартный метод для решения афинских задач связанных с площадями в треугольниках, которые даны в конце второй главы.

Эти решения очень громоздки, поэтому мы начали поиски более простого решения. В конце концов, мы нашли метод являющийся также одной из вариаций неравенства Коши – Шварца. Это неравенство очень известно, но вариант, использованный нами пригоден в конкретных задачах. В нашей работе это легко показать.

Но в начале из нашего первого решения мы получили редкие алгебраическиие неравенства.

Это:

где a+b+c=1; a, b, c> 0. Есть ли здесь дальнейшее продолжение?

Мы поняли, что это лишь случаи более обобщенного неравенства. И нашли его обобщенную запись. Она может быть представлена как:

Итак мы должны найти максимальный d для которого это неравенство верно. Мы получили что наше неравенство верно для чисел в интервале (0;25], то есть неравенство наиболее строгое из всех данного вида. Эта идея очень продуктивна. Мы начали искать другие задачи где можем использовать полученное обобщение. Мы нашли нераенство из “шортлиста” ММО 1984 года и из других источников и успешно применили к ним этот метод. Таким образом мы получили обобщенный вид этих неравенств. Также нами найдены новые неравенства связанные с неравенством R\r ≥ 2. Мы считаем что идея обобщения таких неравенств является новой, и назвали этот метод ─ “Линейное приближение неравенств” Мы использовали этот метод для решения разных задач. Но мы считаем, что если использовать этот метод для решения других задач, мы можем получить интересные результаты.