3. Численные расчеты.

3.1 Особенности используемой программы.

Расчеты были выполнены с помощью программы, написанной бывшим аспирантом нашей кафедры Колоколовым К.И.. В основе программы заложен конечно-разностный метод, позволяющий самосогласованно решать уравнение Шредингера с к-р гамильтонианом в представлении Латтинжера-Кона с учётом членов, описывающих деформацию, и уравнение Пуассона для электростатического потенциала. Программа позволяет проводить численный расчет зонной структуры, электронных и оптических свойств квантовых ям различной формы и состава, а также определять положение уровней размерного квантования, непосредственно в самой яме, как при нормальных условиях, так и при одноосном сжатии вдоль различных кристаллографических направлений. Помимо этого предусмотрен учет влияния температуры и электрического поля.

•Согласно Биру и Пикусу [21] изменение энергии Е состояний в зоне проводимости в окрестности точки Г в GaAs, AlAs, GaP, при деформации кристалла, описываемой тензором _ij, определяется одним деформационным потенциалом a_c = D_xx:

Е = D_xx(_xx +_yy +_zz) (3.1.1)

Т. е. деформация приводит к сдвигу энергетического спектра электронов.

Воздействие деформации на валентную зону значительно сложнее и требует привлечения трех деформационных потенциалов a_v, b, d. В представлении Латтинжера Кона [22] гамильтониан 4×4, описывающий состояния легких и тяжелых дырок в окрестности точки Г, при наличии деформации, может быть представлен в виде [23]:

, (3.1.2)

где:

k_x, k_y, k_z – компоненты квазиимпульса, отсчитываемого от точки Г, m – масса свободного электрона, _i – параметры Латтинжера.

Если одноосная деформация прикладывается вдоль направлений [110] или [100] (к последним сводятся плоско-напряжённые состояния, обусловленные несоответствием решёток), матрица (3.1.1) может быть унитарным преобразованием [24] приведена к виду:

, (3.1.3)

где:

(3.1.4)

(3.1.5)

•Для обеспечения самосогласованности расчета необходимо совместное решение уравнения Пуассона, которое позволяет рассчитать пространственный потенциал, связанный с неоднородным распределением заряда, и уравнение Шредингера с гамильтонианом, включающим как этот пространственный потенциал, так и матрицу Н' (3.1.3),. Для решения такой системы интегро-дифференциальных уравнений обычно используется самосогласованный метод: сначала вычисляются собственные значения и собственные функции с гамильтонианом H’, т.е. без пространственного потенциала. После этого из уравнения Пуассона определяется потенциал уже с учетом вклада от появившегося неоднородного распределения заряда, который снова подставляется в гамильтониан. Эту операцию необходимо проводить до тех пор, пока каждая последующая итерация уже не будет приводить к изменению решения. В общем случае такая схема не всегда работает и процесс самосогласования необязательно сходится. Однако для системы с уравнением Шредингера с гамильтонианом, учитывающим наличие квантовой ямы, такой метод имеет хорошую сходимость и 20 итераций достаточно для устойчивости седьмого значащего разряда в значении энергии, получаемой из нахождения собственных значений гамильтониана.

• Расчет отвечающего за учет деформации члена гамильтониана дырок H’ производился по формулам (3.1.3), (3.1.4) и (3.1.5) с использованием литературных данных о значениях деформационных потенциалов и вычисляемых самой программой значений тензора деформаций.

Значения тензора деформации при одноосном сжатии вдоль направления [110] находились из следующих соображений. Считалось, что компоненты ε_ij тензора определены в системе координат xyz. Тогда в системе координат x’y’z’ , повернутой вокруг оси z относительно xyz на 45°, тензор напряжений имеет вид:

(3.1.6)

где Р-величина одноосного давления. При переходе от одной системы координат к другой, компоненты тензора изменяются по закону:

(3.1.7)

г де суммирование идет по дважды повторяющимся индексам, а матрица А_il представляет собой матрицу перехода из одной системы координат в другую. В рассматриваемом случае она имеет вид;

(3.1.8)

После преобразования тензора, в системе координат xyz получается:

(3.1.9)

П осле использования закона Гука, связывающего тензор напряжений и тензор деформации, получаются следующие выражения для компонент тензора ε_ij при одноосной деформации вдоль направления [110]:

(3.1.10)

• При расчетах учитывалось, что температура влияет на ширину запрещенной зоны и вызывает изменение постоянной решетки. Для описания температурной зависимости ширины запрещенной зоны использовалось эмпирическое выражение [18,25]:

где α и β - подгоночные параметры, а E_g (0) - ширина запрещенной зоны при нулевой температуре. Изменение постоянной решетки с температурой учитывалось в простейшем линейном приближении:

a_lc(T)=a_lc(0)+a_T(T-300)

где a_T- линейный коэффициент расширения, . a_lc(0) – постоянная решетки при комнатной температуре. Все необходимые значения параметров вводились на основании литературных данных [18,25].