1.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости

Интеграл Бернулли. Уравнение неразрывности дает возможность устанавливать изменения скорости течения жидкости по площади поперечного сечения элементарной струйки, а также решать обратную задачу. Полное описание динамики жидкости невозможна без закона, устанавливающего также связь энергетических характеристик. Поэтому далее попытаемся установить связь между работой действующих в жидкости сил и кинетической энергией. В качестве исходных возьмем дифференциальное уравнение движения жидкости Эйлера. При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями. Проекции элементарного отрезка такой линии на соответствующие оси координат обозначим dх, dу, dz. Умножение членов каждого уравнения на соответствующую величину dх; dу; dz и сложение их левых частей в условиях существования потенциала массовых сил дает выражение вида — (1/ρ)d(ρП+р).В правой части рассмотрим пока только одно какое-нибудь слагаемое, например (du_х/dt)dх. При установившемся движении для линий тока, совпадающих с траекториями, выражения вида dх/dt равны проекциям скорости на соответствующие оси. Поэтому рассматриваемое слагаемое (du_х/dt)dх можно представить как

u du_х=d(u_х²/2).

По аналогии запишем выражение остальных слагаемых:

du_у / dtdу = u_уdu_у= d (u_у ²/2); du_z / dtdz = u₂du_z = d (u_z ²/2).

В соответствии с изложенным, суммируя уравнения получаем

-1/ρd (ρП+р) = d (u_х²/2 + u_у²/2 + u_z²/2) = d (u²/2), или d(ρП+р + ρ (u²/2) = 0.

Интегрируя последнее выражение, получаем

Выражение называется интегралом Бернулли и характеризует энергию жидкости при ее движении вдоль траектории, совпадающей при установившемся движении с линией тока. Можно доказать, что при дополнительном выполнении условий, т.е. для безвихревого (потенциального) движения, интеграл Бернулли справедлив для всей области движения невязкой жидкости [12. С. 302].

Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости. При плавноизменяющемся движении невязкой жидкости в поле сил тяжести потенциальная функция в соответствии с условиями имеет вид П = gz, где z -расстояние по вертикальной оси координат. С учетом последнего интеграл Бернулли приводим к виду

Разделив полученное выражение на ускорение свободного падения, окончательно записываем

z₁ + p₁ / γ + u ²₁/ 2g = z₂ + p₂/ γ + u²₂ /2g (1.8)

Это уравнение называется уравнением Бернулли и является частной формой закона сохранения энергии. В этом виде оно обычно применяется к элементарной струйке невязкой жидкости при отмеченных выше условиях движения и доказывает постоянство суммы z + р/ γ + u² /(2g) для всех ее живых сечений вдоль течения. Индексы 1 и 2 относятся к двум произвольно выбранным сечениям 1 - 1 и 2-2 (см. рис.1.9).

Рисунок 1.9. Элементарная струйка невязкой жидкости

Уравнение может быть получено и другим способом на основе теоремы кинетической энергии. Изменение кинетической энергии жидкости, проходящей через контрольные сечения 1-1 и 2 - 2 (см. рис. 1.9) элементарной струйки за время Работа сил давления, приложенных по торцам отсека, т.е. к сечениям 1 - 1 и 2 - 2, за то же время равна а изменение потенциальной энергии в поле сил тяжести определяется перемещением отсека 1 – 1' в положение 2 - 2', т.е. величиной Работа сил, действующих по боковой поверхности отсека 1 - 1', равна нулю (касательные напряжения при движении невязкой жидкости отсутствуют, а нормальные ортогональны перемещению). В итоге получаем

Делением всех слагаемых уравнения на вес жидкости, проходящей через живые сечения элементарной струйки за время (11, приводим все слагаемые энергии и работ к удельному выражению, т.е. отнесенному к весу жидкости. Объединение в левой части уравнения членов, характеризующих сечение 1 - 1', а в правой - сечение 2 - 2', дает уже известную форму уравнения Бернулли:

Приведенный вывод показывает, что уравнение Бернулли - частное выражение классического закона сохранения энергии.

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли. Убедиться, что слагаемые уравнения Бернулли выражают энергетические характеристики, легко, проанализировав их на промежуточном этапе приведенного выше вывода. Так, все слагаемые уравнения (1.9) — компоненты энергии или работы. Действительно, сомножитель dG - элементарная сила тяжести [12. С. 254].

Рассмотрим слагаемые уравнения (1.8):

z - удельная потенциальная энергия положения характеризует работу, которую может совершить единица веса (единица массы применительно к интегралу Бернулли) на вертикальном перемещении z;

р/ γ - удельная работа сил давления - работа сил давления в живом сечении на соответствующем перемещении каждой единицы веса (массы) жидкости;

- удельная кинетическая энергия т.е. кинетическая энергия единицы веса (массы) движущей жидкости.

В целом, как уже отмечалось, уравнение и интеграл Бернулли выражают закон сохранения энергии при движении жидкости, поскольку величина в виде суммы трех слагаемых представляет полную удельную

механическую энергию невязкой жидкости, и она при движении вдоль элементарной струйки на всем пути сохраняет постоянное значение. Легко заметить, что при u = 0 уравнение (1.8) и интеграл (1.7) переходят в основное уравнение гидростатики.

Следует подчеркнуть, что согласно уравнению Бернулли (1.8) для струйки невязкой жидкости изменения любого слагаемого на участке движения между контрольными сечениями 1-1 и 2 - 2 компенсируются таким же изменением одного или обоих других слагаемых.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли. Проанализируем сначала более подробно размерность слагаемых уравнения Бернулли. Первые слагаемые z в обеих частях уравнения Бернулли (1.8) для элементарной струйки и в интеграле (1.7) - это вертикальные координаты. Они имеют размерность длины. Остальные слагаемые рассматриваемых уравнений должны иметь ту же размерность. В этом легко убедиться:

Поэтому естественна геометрическая интерпретация слагаемых уравнения (1.8) как соответствующих отрезков. Например, удельная потенциальная энергия положения z (см. рис. 1.9) своим названием подчеркивает, что этот вид энергии определяется положением рассматриваемой частицы в пространстве[12. С. 267].

В поле сил тяжести такой характеристикой может быть расстояние, отсчитываемое по вертикали от плоскости сравнения (отсчета) 0 - 0 до рассматриваемой частицы. При этом обязательное требование к плоскости отсчета - ее горизонтальность, так как она должна быть нормальна к вертикальным линиям действия сил тяжести. Отсюда следует, что z выражает геометрическую высоту. Если она откладывается от плоскости сравнения вверх, то будем считать ее положительной, а если вниз - отрицательной (это правило знаков будет действовать применительно и ко всем остальным слагаемым уравнения Бернулли).

В большинстве случаев второе слагаемое определяют по избыточному давлению. Поэтому величина р/ γ - называется пьезометрической высотой (в общем случае абсолютного давления - гидростатической или абсолютной пьезометрической высотой), а сумму Н = z + р/ γ соответственно называют пьезометрическим (гидростатическим) напором. Слагаемое u²/2g называется скоростным напором (высотой). Все эти отрезки, отложенные последовательно по вертикали, образуют в сумме величину Н₀ = z + р/ γ + u²/(2g), называемую гидродинамическим (полным) напором. Линия 1 (см. рис. 1.9), характеризующая изменения вдоль течения пьезометрического напора, называется пьезометрической линией. Ее уклон, т.е. изменение пьезометрического напора вдоль пути перемещения жидкости

(1.10)

называется пьезометрическим уклоном.

Аналогично, линия 1, проведенная по отметкам гидродинамических напоров, называется напорной линией, а ее уклон - гидравлическим уклоном. Принято считать пьезометрический и гидравлический уклоны положительными, если они направлены в сторону движения жидкости. Этому случаю соответствует уменьшение пьезометрического и гидравлического напоров вдоль течения. Поэтому перед зависимостями (1.10) и (1.10а) стоит знак «минус».

В соответствии с уравнением (1.8) для рассматриваемого частного случая установившегося движения невязкой жидкости вдоль элементарной струйки гидравлический уклон I = 0. Это еще раз подчеркивает сохранение постоянства полной удельной энергии вдоль пути.

В отличие от гидравлического уклона, пьезометрический уклон может быть и положительным, и отрицательным, и равным нулю. Это легко подтвердить простым анализом с помощью уравнения неразрывности. Действительно, разница ординат напорной и пьезометрической линии - это скоростной напор:

Н₀ - Н = [z+ р/ γ + u²/(2g)] - (z + р/ γ) = u²/(2g).

Поэтому положение пьезометрической линии относительно напорной целиком описывается уравнением неразрывности. Достаточно знать только изменение площади живого сечения вдоль струйки или самой скорости. Если движение равномерное, т.е. dω = const, то пьезометрическая линия параллельна напорной и отстоит от нее на расстоянии, соответствующем скоростному напору; в этом случае I = I_П = 0. При увеличении скорости вдоль течения из-за уменьшения площади живого сечения растет скоростной напор и пьезометрическая линия идет с большим уклоном, чем напорная (I < I_П > 0). Наоборот, с уменьшением скорости при расширении струйки вдоль течения линии сближаются, т.е. пьезометрический уклон становится меньше гидравлического (I > I_П < 0). Пьезометрическая линия может снижаться вдоль течения, идти вверх и быть горизонтальной [12. С. 278].

Построение пьезометрической и напорной линий широко применяется в решении многих задач, так как это дает возможность быстро устанавливать основные характеристики движения жидкости, причины и степень их изменяемости.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости. Движение вязкой жидкости (см. рис. 1.10.) обязательно вызывает появление касательных напряжений т внутри потока и т₀ на его границах в соответствии с упомянутым во введении законом вязкостного трения Ньютона.

Рисунок 1.10. Движение вязкой жидкости

Работа касательных напряжений, возникающих из-за трения, всегда приводит к переходу части механической энергии движущегося тела в тепловую. Назовем эту часть механической энергии, перешедшей в тепловую, потерями напора (энергии), обозначив их для элементарной струйки через h' (подчеркнем, что понятие «потеря энергии» условно, а на самом деле это не уменьшение энергии вообще, что, как известно, при реальных в гидравлике скоростях невозможно, а потеря механической энергии за счет частичного ее перехода в тепловую) [12. С. 289].

Жидкость в рассматриваемой произвольной элементарной струйке I за счет тех же касательных напряжений на контакте с соседними струйками может затормаживаться или ускоряться, т.е. может существовать обмен механической энергией h_е по нормали к направлению движения. Этот обмен может иметь разную абсолютную величину и знак. Следовательно, в условиях движения вязкой жидкости для сохранения баланса в правую часть уравнения Бернулли (1.8) следует добавить два слагаемых: h_е h_f, Тогда получим

Полученное уравнение Бернулли справедливо для элементарной струйки вязкой жидкости.