3. Обоснование и вывод расчетных зависимостей для определения температурных напряжений в охлаждаемом днище поршня

В рассматриваемом варианте принимается конструкция охлаждаемого днища поршня, поэтому рассмотрим вывод расчетных зависимостей только для этого типа поршней.

Температурные напряжения в днище поршня возникают в результате влияния осевого (по толщине днища), и радиального перепадов температур. Радиальный перепад для этих конструкций незначителен, поэтому температуры вдоль радиусов можно считать постоянными. Осевой перепад температур имеет значительную величину в конструкциях охлаждаемых поршней. Численно он равен разности между температурой омываемой газами наружной (огневой) и температурой внутренней (охлаждаемой) поверхностями поршня .

Температурные напряжения при осевом перепаде температур (по толщине днища) определяются по зависимости [1, 2]:

, (15)

где  – температурный коэффициент линейного расширения.

В большинстве конструкций принимается, что распределение температур по толщине имеет линейный характер . После подстановки этой температурной зависимости t(z) в формулу (15) получим расчетные формулы для определения функции температурных напряжений ^*(z) в виде следующей зависимости

. (16)

Эпюра температурных напряжений при жесткой заделке имеет кососимметричный характер (рис.5).

Рис.5. Распределение температур и напряжений в охлаждаемом днище

Напряжения в точках на огневой поверхности определяются при относительной координате и являются напряжениями сжатия, а на охлаждаемой поверхности ( ) – напряжениями растяжения.

Температурные напряжения в днище неохлаждаемых поршней

Температурные напряжения в днище неохлаждаемого поршня, в основном, определяются радиальным перепадом температур. Отвод тепла (до 70-80%) от днища поршня в таких конструкциях производится через поршневые кольца в воду, охлаждающую цилиндровую втулку. Осевой перепад температур в этих случаях бывает незначительным и напряжениями, вызванными им, можно пренебречь.

В расчетной схеме такой конструкции предполагается, что температура цилиндрической стенки поршня равна температуре периферии днища и что расширению от нагрева подвергается только ее часть (рис.6).

Рис.6. Схема для расчета температурных напряжений в неохлаждаемом днище поршня

При формировании расчетной схемы будем считать днище круглой пластиной, сопряженной с толстостенной цилиндрической оболочкой высотой h₁. Этот размер можно принять равным расстоянию до первого поршневого кольца. Обычно , где – наружный диаметр поршня. Условием совместности деформаций в этой схеме является равенство деформаций оболочки и пластине в месте их сопряжения. Принимается, что распределение температур вдоль радиуса подчиняется зависимости . Введем понятие температурной деформации , где – температура сборки. С учетом принятой температурной зависимости эта деформация определяется следующим выражением

. (17)

Напряжения, вызванные неравномерным распределением температур вдоль радиуса, определяются по формулам ([5], с.86):

• в радиальном направлении ;

• в окружном направлении .

Входящий в эти зависимости интеграл определяется с учетом зависимости (17) .

Постоянные интегрирования А и В определяются по следующим граничным условиям:

• в центре диска при : ;

• на периферийной кромке при : .

При помощи первого граничного условия определяется, что . Второе граничное условие приводит к следующему значению . Таким образом, после подстановки значений интеграла и произвольных постоянных, получим следующие зависимости для напряжений:

; (18)

. (19)

Входящее в эти формулы значение неизвестно. Для его определения составим условие стыковки цилиндрической части и пластины (рис.9). Рассмотрим напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки под влиянием нагрузки со стороны днища. Для упрощения заменим местную нагрузку со стороны периферии днища на равномерно распределенное давление по всей внутренней поверхности оболочки (рис.13). Исходя из равенства суммарных нагрузок в обоих вариантах , находим величину давления

.

Полагая цилиндрическую часть толстостенной оболочкой, воспользуемся готовым решением для аналогичной схемы нагружения ([6], с.427, [5], с.64)

,

в котором верхний знак (–) соответствует радиальному напряжению, нижний знак (+) – окружному.

Рис.9. Переход от местного нагружения оболочки (а) к равномерному общему нагружению внутренней поверхности (б)

Условием перехода от цилиндрической части к плоскому днищу является равенство их относительных деформаций на границе сопряжения этих частей поршня : . Относительная окружная деформация:

• для оболочки

; (20)

• для пластины

. (21)

Приравнивая обе части выражений (20) и (21), определяем величину радиального напряжения на периферии днища

. (22)

Величина входящего в решение (22) коэффициента рассчитывается по формуле

. (23)

Далее не составляет затруднений определение напряжений по формулам (18) и (19) с учетом формул (22) и (23):

– окружное напряжение на периферии днища . (24)

– напряжения в центре днища (r = 0) . (25)

Рассматривая подобную расчетную схему, в учебнике [3] получены аналогичные зависимости для расчета напряжений в центре и на периферии днища.

; ; .

Для расчета напряжений более удобными является вид расчетных зависимостей (22), (23) и (25). Для определения толщины днища в этих зависимостях можно задаваться величиной безразмерного коэффициента , значения которого в зависимости от параметра K при  = 0,3 представлены в таблице 2.

Таблица 2.

K	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5
k	1,43	0,833	0,588	0,454	0,37	0,312	0,27	0,238	0,213	0,192	0,175

Для расчета напряжений можно принимать следующие соотношения:

; .