1. Аналитическая часть

   1. Обоснование расчетной схемы и допущений

Независимо от конструкции поршня будем считать, что:

1). Днище является круглой пластиной постоянной толщины, жестко защемленной в головке поршня.

2). Материал днища считается однородным и изотропным.

3). Давление газов равномерно распределено по наружной (огневой) поверхности днища поршня.

4). В радиальном направлении днище охлаждаемых поршней (с внешним диаметром ) имеет возможность расширения. Температура днища изменяется только по толщине, вдоль оси поршня (см. задание, рис.1,б).

5). В радиальном направлении возможность расширения днища неохлаждаемых поршней (с внешним диаметром ) ограничивается цилиндрической частью головки поршня. Поэтому температура нагрева по толщине не изменяется, понижаясь от центра до периферии днища (см. задание, рис.1,в).

2. Обоснование и вывод расчетных зависимостей для определения изгибающих моментов от давления газов

Согласно [1,2], угол  поворота нормали к деформируемой срединной поверхности днища:

(1)

где – цилиндрическая жесткость пластины.

Распределенные моменты, приходящиеся на единицу длины, на расстоянии r от центра пластины (рис.3):

в радиальном направлении

, (2)

в тангенциальном направлении

(3)

По этим уравнениям могут быть построены эпюры изгибающих моментов. Направление положительных моментов показано на рис.5,а. Положительные моменты вызывают на огневой поверхности днища (САС^/) отрицательные напряжения сжатия, а на внутренней (охлаждаемой) поверхности днища (DBD^/) – положительные напряжения растяжения.

Рис.3. Эпюры изгибающих моментов от сил давления газов

В центре днища (при r = 0) действуют положительные моменты: (4) На заделанном контуре (при r= R) моменты – отрицательны: Сравнение формул (4), (5) и (6) показывает, что максимальный по модулю изгибающий момент

M_max = M_r(R) действует на периферийной кромке в радиальном направлении и в 1,5 раза превышает значение момента в центре. С учетом зависимости (4) можно преобразовать зависимости (2) и (3).

, (5)

(6)

3. Определение напряжений и деформаций от давления газов

Напряжения изгиба рассчитываются по известным зависимостям. Наибольшие их значения имеют место на поверхностях днища (рис.4). В центре днища (при r = 0):

на огневой поверхности (z = 0,5h)

(7)

на охлаждаемой поверхности (z = – 0,5h)

(8)

На контуре днища (при r = R):

на огневой поверхности (z = 0,5h)

– в радиальном направлении

(9)

– в тангенциальном направлении (10) на охлаждаемой поверхности (z = –0,5h) – в радиальном направлении (11) – в тангенциальном направлении (12)

Рис.4. К определению напряжений изгиба.

Таким образом, из анализа зависимостей (7) …. (12) следует вывод о том, что наибольшие напряжения имеют место на внешнем контуре днища поршня в радиальном направлении.

Прогиб днища поршня: . (13)

Максимальный прогиб находится в центре (r = 0)

. (14)