8.3. Теоретична міцність твердих тіл при відриві та зсуві
Втрата несучої здатності деталі або елемента конструкції може бути обумовлена порушенням стабільності розмірів внаслідок досягнення неприпустимих деформацій, однак у більшості випадків вона пов'язана з його руйнуванням.
Руйнуванням називаємо обумовлений дією певних навантажений процес, який закінчується частковим або повним розчленуванням матеріалу деталі або елемента. Найважливішим наслідком цього процесу є втрата здатності виробу робити подальший опір навантаженню. Зовні протікання такого процесу проявляється у вигляді розривів на значних ділянках, які фіксуються навіть неозброєним оком. Однак для достатнього розуміння фізики руйнування необхідний в першу чергу аналіз процесів руйнування на мікроскопічному рівні, у границях ділянок, які мають величину зерна 10-2…10-3мм, а також на атомному рівні, тобто в межах відстані, близьких до міжатомних (10-7 мм).
Сили
зчеплення між складовими частками
твердого тіла істотно залежать не
тільки від фізико-хімічної природи
цих часток, але й від відстані між ними.
На рис. 8.4 зображено схематичний графік
зміни сили
міжатомного зчеплення на одиницю площі
залежно від відстані
між двома атомними площинами в ідеальному
кристалі (аналогічна залежність
спостерігається й для аморфних тіл).
Дамо
якісну характеристику функції
.
Ця функція (рис. 8.4) дорівнює нулю, якщо
відстань
,
тобто коли тіло перебуває в недефоpмованому
стані. Зі збільшенням відстані
між складовими частинами тіла, тобто в
процесі його деформації, функція
швидко зростає і при певному значенні
досягає максимального значення
,
а потім при подальшому збільшенні
знижується.
Детальне
вивчення залежності
є завданням фізики твердого тіла. Ні
для одного тіла це завдання ще не має
повного розв'язання. Але відомо, що
площа, обмежена кривою
при
і віссю
є подвійною питомою поверхневою енергією
даного матеріалу 2
(pис.8.4). Ця енергія (
)
у числовому відношенні pівна роботі,
яку необхідно витратити на створення
одиниці нової поверхні твердого тіла.
Якщо
відстань
мало відрізняється від
, тобто коли деформація
є малою (
),
то функцію
наближена з точністю до малих величин
можна записати так:
(8.21)
де
- коефіцієнт пропорційності між приростом
сил зчеплення на одиницю площі
(напруженнями) і величиною деформації
для даного тіла. Цей коефіцієнт (відносно
макроскопічних тіл) називається, як уже
було сказано, модулем Юнга.
Рис 8.4. Аналітична залежність зміни сили міжатомного зчеплення на одиницю площі від відстані між двома атомними площинами в ідеальному кристалі
Максимальне
значення функції
називається теоретичною міцністю
кристала, тобто міцністю, яку повинне
мати тверде тіло, якщо воно є ідеальним
кристалом. Згідно формули, для приблизного
визначення величини
маємо
(8.21)
;
(8.22)
Обчислення теоретичної міцності для іонних кристалів типу NaCl, проведені в рамках теорії кристалічних ґраток Боpном (1915), а потім іншими, показали, що теоретична міцність твердих тіл (ідеальних кристалів) значно перевищує межу реальної міцності , експериментально встановлену для відповідних реальних твердих тіл. Так , наприклад, згідно підрахункам, для кристалів кам'яної солі (NaCl) величина теоретичної міцності наближується до 2000 МПа, а межа технічної міцності ( ) макроскопічних кристалів відповідає 5 МПа, тобто технічна міцність у сотні pазів менша теоретичної.
Важливим етапом у підтвердженні правильності теоретичних підрахунків міцності іонних кристалів були експериментальні дослідження Іоффе А.Ф. (1920). Після розчинення у воді поверхні кристалів кінцевий діаметр зразка, який розривався був досить малим. В окремих випадках була зафіксована міцність кристалів – 1600 МПа. Це показує реальність теоретичної міцності й ще більше загострює питання: чим же пояснити велике розбігання між теоретичною і реальною (технічною) міцністю.
Руйнування матеріалів, позбавлених дефектів кристалічної структури, викликано винятково розривом зв'язків між атомами. Існують дві основні елементарні схеми розриву зв'язків між атомами твердого тіла, які показані на рис. 8.5. Перша з них реалізується, якщо нова поверхня розділу утвориться внаслідок розриву атомних зв'язків, спрямованих перпендикулярно до поверхні руйнування. Такий процес порушення цільності матеріалу називають руйнуванням шляхом відриву. Друга ж схема допускає розрив зв'язків уздовж новоутвореної поверхні під дією сил у площі руйнування або паралельних з нею. Такий процес руйнування обумовлений зсувом.
Визначимо рівень так званої теоретичної міцності матеріалів при їх руйнуванні по обох згаданих схемах.
Теоретично міцність на зріз була розрахована Фpенкелем.
Н
а
рис. 8.6 представлена модель у вигляді
двох рядів атомів, зміщених друг відносно
друга під дією напруження зсуву. Під
дією напруження зсуву
ряди атомів зміщуються один відносно
іншого, потрапляючи в рівноважні позиції
А і В.
Рис 8.5. Схематичне зображення розриву зв’язків між атомами твердого тіла: а– відрив;
б – зсув
Напруження – періодична синусоїдальна функція Х з періодом b. Залежність напруження зсуву має вигляд
(8.23)
Для малих зсувів ця функція буде мати вигляд
(8.24)
Відповідно до закону Гука
(8.25)
де
– деформація зсуву
Прирівнявши
вираз для
,
отримаємо
(8.26)
Підставляємо значення у вираз маємо
(8.27)
Максимальне значення напруження зсуву , що відповідає напруженню, при якому гратка переводиться в нестабільний стан, досягається при зсуві на b/4, звідки одержуємо вираз для критичного напруження зсуву
(8.28)
а
при
(8.29)
Рис. 8.6. Модель розрахунку теоретичної міцності на зсув (за Френзелем)
Виходячи
з аналогічних міркувань, можна одержати
рівень теоретичної міцності при
руйнуванні шляхом відриву. Беручи до
уваги періодичність кристалічної
ґратки, внутрішні напруження
,
які виникають при спробі розриву
зовнішніми силами ідеально твердого
тіла, запишемо з граничним приближенням
у вигляді
(8.30)
де
- рівень теоретичної когезійної міцності;
- викликане зовнішніми силами зсуву
атомів від положення рівноваги;
- довжина хвилі синусоїди, яка обмежує
хаpактеp зміни внутрішніх сил атомної
взаємодії.
Оскільки більші стосовно вихідної міжатомної відстані деформації неприпустимі, можна вважати, що взаємодія окремих атомів матеріалу підкоряється закону Гука. Тоді на основі (7.30) одержимо рівняння, яке зв'язує теоретичний рівень сил внутрішньої когезії з модулем Юнга, відповідно до висновку Оpована:
(8.31)
Для
енергетичних оцінок процесу руйнування
доцільно скористатися поняттями дійсної
поверхневої енергії
,
яка використовується при розриві атомних
зв'язків на створення одиниці поверхні
руйнування. Беручи до уваги характер
зв'язку між
і зміщення, вираз для щільності дійсної
поверхневої енергії можна представить
формулою
(8.32)
З огляду на все той же гуковский (пружний) тип взаємодії між атомами, замість (8.31) одержимо
(8.33)
Експерименти, проведені на багатьох матеріалах, показують, що дійсна поверхнева енергія задовольняє рівняння
(8.34)
Тоді замість (8.33) приблизно одержимо
(8.35)
Для більшості металів теоретична міцність на відрив, розрахована по формулам, рівна 5000…30000 МПа. Аналогічно теоретична міцність на зсув, знайдена по формулам досягає значення 2000…12000 МПа. Реальна міцність конструкційних матеріалів значно нижче в 10…1000 разів.
Спроби
підрахувати теоретичну міцність,
виходячи з більш точного в порівнянні
із синусоїдальним законом взаємодії
атомів не привели до істотного зближення
рівнів теоретичної і реальної міцності.
Уточнені розрахунки теоретичної міцності
дають мінімальні значення
= E/13 , а
= G/30.
Отримані результати показують, що напруження зсуву при ковзанні повинне становити приблизно 0,1G. У такому випадку міцність сталі при зрушенні повинна була б перевищувати 7000 МПа, а міцність міді була б рівна 4200 МПа. Практично значення напружень зсуву для монокристалів заліза й міді в 1000 разів менше.
Теоретична міцність є верхньою межею міцності кристала. В наслідок дефектів кристалів ця межа практично недосяжна і експериментально знайдена технічна міцність завжди менше теоретичної.