46. Математическая модель задачи о назначениях

Пусть есть: n - женихов i=1…n и n - невест j=1…n

с_ij – совместимость i-ого жениха с j-ой невестой

Требуется разбить их на пары с максимальной суммарной совместимостью.

Пример: Совместить 3х женихов и 3х невест. Задача сводится к тому, чтобы в каждом столбце и в каждой строке выбрать одно число, чтобы сумма этих чисел была максимальной.

	1	2	3
1	1	2	3
2	2	4	6
3	3	6	9

(по горизонтали женихи, по вертикали невесты)

1,4,9 – max; 3,4,3 – min (если задача на минимум)

Математическая модель:

Пусть

- у одного жениха одна невеста

x_ij{0; 1}- либо 0, либо 1. Это условие можно заменить на: х_ijZ_, х_ij≥0_, х_ij≤1. Поэтому задача является задачей целочисленного программирования.

В. 47 Математическая модель задачи Коммивояжера.

Коммивояжер - это бродячий торговец, который должен обойти несколько городов, побывав в каждом ровно 1 раз, причем суммарное пройденное расстояние должно быть min.

Имеется n пунктов, cij- стоимость или время или расстояние для перехода из i пункта в j. Требуется обойти все пункты по 1 разу, и вернутся в исходную точку, иными словами нужно отыскать цикл минимального веса (стоимостью).

Математическая модель:

Напишем целевую функцию:

Нужно 1 раз зайти и выйти: х_ij –входим из i пункта в j

сумма всех городов, из которых можем выйти

Например, у нас 5 городов. Но тех условий недостаточно. Это не цикл, поэтому нужно добавить ещё 1 условие:

(*), причём i, j =2…n

Пояснение к условию: предположим мы отыскали цикл длиной k<n, тогда просуммируем все неравенства (*) вдоль цикла:

; =1, т. к идем вдоль цикла.

Получили противоречивое неравенство, т.к предположили, что в решение оказался цикл длиной меньше, чем n. Условие (*) гарантирует отсутствие такого цикла.

В. 48 Алгоритм решение задачи о коммивояжере методом отсечений.

На практике модель из предыдущего вопроса никогда не решают, поскольку она очень громоздкая, вместо этого задачу решают методом отсечения.

Сначала решают задачу о назначениях и проверяют, обнаружился ли неполный цикл, если да, то добавляют ограничение, которое запрещает этот цикл, и решают задачу начала.

Пусть обнаруживается цикл длиной k<n

Добавим ограничение: , предположим:

Мы берем

	1	2	3	4	5
1	100
2	сij	100
3			100
4				100
5					100

Ставим по диагонали 100, что бы не пойти туда.

	A	B	C	D	E
1	0	1	0	0	0
2	1	0	0	0	0
3	0	0	0	1	0
4	0	0	0	0	1
5	0	0	1	0	0

Добавляем условие: D3+E4+C5≤2 – т. е. запрещаем нижний цикл.