4.3 Метод потенциальных функций и метод потенциалов

В качестве дискриминантных функций [4.4] для диагноза в пространстве признаков выбираются функции; имеющие наибольшее значение для точек этой области и убывающие по мере удаления от нее.

Если ввести расстояние между произвольной точкой х пространства признаков и некоторой характерной точкой х_i принадлежащей диагнозу ,

(4.60)

то следует считать, что дискриминантная функция должна быть убывающей функцией этого расстояния:

(4.61)

Так как ρ зависит от то можно записать

, (4.62)

где – потенциальная функция х, в которую входит х_i как параметр. Точка х в многомерном пространстве признаков описывает состояние объекта.

Метод потенциальных функций развит для разделения на два состояния (дифференциальная диагностика, дихотомия). В указанном случае разделяющая функция

(4.63)

Основное свойство разделяющей функции:

если если . (4.64)

Диагнозы (классы) считаются непересекающимися, т. е. точка х может входить только в один из указанных классов. Если известна потенциальная функция К (х, у), которую условно можно рассматривать как «потенциал» в точке x от источника в точке у, то при соответствующем выборе точек можно построить разделяющую функцию . Потенциальная функция зависит от расстояния между точками:

, (4.65)

где – расстояние между точками x и y.

4.3.1 Метод потенциальных функций.

Наиболее простой алгоритм построения разделяющей функции на основе потенциальной функции К(х, у) с помощью показа образцов из обучающей последовательности. После показа первого образца принимается

(4.66)

Далее показывается второй образец и возможны следующие ситуации:

а) при

б) при

в) при

г) при

Для случаев а) и г) поправки не требуется; в случае б) принимается в случае в)

Допустим, что потенциальная функция может быть представлена рядом

(4.67)

uде – некоторая система функций; – числовые коэффициенты.

Рассмотрим преобразование пространства признаков x в диагностическое пространство, причем координаты точки в этом пространстве

, (4.68)

где – определяются как коэффициенты ряда (4.67).

Тогда первое приближение для разделяющей функции в диагностическом пространстве в соответствии с равенствами (4.66) – (4.68) будет таким:

(4.69)

Будем предполагать, что разделяющая функция может быть разложена в ряд по функциям :

(4.70)

где λ_i – коэффициенты разложения.

4.3.2 Алгоритмы распознавания в методе потенциальных функций.

В общем виде рекуррентная процедура построения разделяющей функции

если если (4.71)

Дается следующим равенством:

(4.72)

где – некоторые числовые последовательности, причем в практически реализованных процессах Величина может быть задана в виде

(4.73)

где – точное значение разделяющей функции, а – ее n-ое приближение; – числовой коэффициент, причем

. (4.74)

Смысл условия (4.74) состоит в том, что величина не должна убывать слишком быстро с тем, чтобы влияние обучающей последовательности сказывалось в большей степени. Кроме указанного соотношения, последовательность должна удовлетворять одному из следующих условий:

(4.75)

(4.76)

(4.77)

4.3.3 Метод потенциалов.

В этом методе [4.5] для построения дискриминантных функций также используются потенциальные функции К (х, у). Однако они получаются не в результате последовательной (рекуррентной) процедуры, как в методе потенциальных функций, а строятся на основе имеющейся предварительной информации. Алгоритм построения является не самообучающимся, как в методе потенциальных функций, а заранее выбранным, детерминированным. Однако простота метода делает его привлекательным для практических приложений.

Пусть имеется обучающая последовательность, содержащая образцов, принадлежащих диагнозу Такая ситуация характерна для большинства задач технической и медицинской диагностики. Если – представляет собой эталонный вектор диагноза , то дискриминантными функциями могут быть соответствующие потенциальные функции

(4.78)

В качестве эталонного образца можно принять средний образец

(4.79)

По физическому смыслу представляет собой потенциал в точке от источника (заряда) в точке . Все дискриминантные функции положительны, так как потенциальные функции удовлетворяют условию:

К (х, у) > 0.

Очевидно, так как К (х, у) – убывающая функция расстояния.

Другой метод образования дискриминантных функций состоит в использовании среднего значения потенциальной функции

(4.80)

где – потенциальная функция для образца, принадлежащего диагнозу .

Алгоритм распознавания является обычным при использовании дискриминантных функций. Предъявленный для распознавания объект

если (4.81)

Очевидно, уверенность в правильной классификации будет Больше, если функция существенно превышает остальные. Введем меру качества (надежности) процесса распознавания

(4.82)

В практических задачах решение о принадлежности объекта к диагнозу можно принимать, если

(4.83)

где – выбранный уровень качества. Если условие (4.83) не выполняется, то для принятия решения требуется дополнительная информация.