28. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Рассмотрим пример построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M_x.

1. Изображаем расчетную схему (рис. 3.9, а).

2. Определяем реакции опор. Первоначально выбираем произвольное направление реакций (рис. 3.9, а)

Так как реакция R_B с минусом, изменяем выбранное направление на противоположное (рис. 3.9, б), а про минус забываем.

Проверка:

Y = 0, R_A - 2qa + R_B - qa = qa - 2qa + 2qa - qa = 0.

3. Расчетная схема имеет три силовых участка.

I участок АС: 0 < z₁ < a. Начало координат выбираем в крайней левой точке А. Рассмотрим равновесие отсеченной части бруса (рис. 3.10).

В сечении возникают внутренние усилия:

поперечная сила

Q = qa = const

и изгибающий момент

M_x = qa * z₁ при z₁ = 0 M_x = 0; при z₁ = a M_x = qa².

II участок CB: 0 < z₂ < 2a. Начало координат перенесено в начало участка С (рис. 3.11).

На этом участке

при z₂ = 0 Q = qa, M_x = -qa²;

при z₂ = 2 Q = -qa, M_x = qa².

На 2-м участке в уравнении моментов аргумент z₂ имеет 2-ю степень, значит эпюра будет кривой второго порядка, т.е. параболой. На этом участке поперечная сила меняет знак (в начале участка +qa, а в конце -qa), значет на эпюре M_x будет экстремум в точке, Q = 0. Определяем координату сечения, в котором экстремальное значение M_x, приравнивая нулю выражение поперечной силы на этом участке.

Определяем величину экстремального момента (с учетом знака):

III учаток BD: 0 < z₃ < a. Начало координат на третьем участке помещено в крайней правой точке (рис. 3.12).

Здесь Q = qa = const; M_x = -qa*z₃; при z₃ = 0 M_x = 0; при z₃ = a M_x = -qa².

4. Строим эпюры Q и M_x (рис. 3.13, б и в).

5. Проверка построения.

29. Нормальные напряжения при чистом изгибе.

При расчете балки на изгиб одной из важнейших является задача определения ее прочности. Плоский изгиб называется поперечным, если в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора: М – изгибающий момент и Q – поперечная сила, и чистым, если возникает только М. В поперечном изгибе силовая плоскость проходит через ось симметрии балки, являющейся одной из главных осей инерции сечения.

При изгибе балки одни слои ее растягиваются, другие сжимаются. Между ними находится нейтральный слой, который лишь искривляется, не изменяя при этом своей длины. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения совпадает со второй главной осью инерции и называется нейтральной линией (нейтральной осью).

От действия изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения, определяемые по формуле

где М – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

I – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;

у – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяются напряжения.

Как видно из формулы (8.1), нормальные напряжения в сечении балки по ее высоте линейны, достигая максимального значения в наиболее удаленных точках от нейтрального слоя.

где W – момент сопротивления поперечного сечения балки относитель¬но нейтральной оси.