26. Изгибающий момент и поперечная сила.

Рассчитать изгибаемые элементы, используя пластические свойства стали и предполагая, что течение всего материала сечения происходят из-за воздействия нормальных напряжений, которые вызваны изгибом, возможно, только если касательные напряжения составляют не больше чем 0,3 R, там где самый большой изгибающий момент.

Во время перехода материала в пластическое состояния из упругого, если присутствуют касательные напряжения, прослеживается текучесть тогда, когда приведенному напряжению σ_пр = √σ²+Зτ² равняться предел текучести. Поэтому эпюра приведенных напряжений будет выпуклой, а не треугольной, если текучесть происходит в крайних фибрах, т. е. при σ = σ_т, (рис. 1). А также текучесть появляется не только в крайних фибрах, но и у нейтральной оси, когда касательные напряжения достигают значения предела текучести τ = τ_т = σ_т/√3.

Рис. 1. Эпюры приведенных напряжений при одновременном воздействии изгибающего момента и поперечной силы

Совместное действие изгибающего момента М и поперечной силы Q являются условием появления шарнира пластичности, который можно определить с помощью функции φ величин S и t. Рассматривая эти величины как координаты, можно представить некоторую кривую, разделяющую область пластичности от упругой (рис. 2).

Рис. 2. Граничная кривая, разделяющая область упругой (внутренней), и пластической стадии развития напряжений в сечении при совместном воздействии М и Q

Самый простой способ создать кривую в виде окружности s² + t² = l. Но тогда она будет справедлива только для прямоугольных сечений, а для других видов нужны будут исправлений. И тогда Б. М. Броуде привел ее к данному виду

Ф = s² + t2 - as²t² = 1, (1)

где а будет порядка 0,8 - 0,9 для двутавровых балок.

Потому как моменты М°_пр = σ_тW^пл и M_пр = σW^упр, то

S = σ/σ_т W^упр/W^пл = σ/σ_тψ, (2)

где ψ = W^упр/W^пл ≈0,89, только для двутавровых сечений.

Учитывая, что поперечная сила воспринимается стенкой, получаем:

Q°_пр = τ_тF_ст = σ_т/√3F, (3)

где

Q^М_пр = τ_срF_ст, (4)

где τ_ср = Q/F_ст будет среднее напряжение среза в стенке; F_ст – площадью сечения стенки.

Соответственно

t = τ_ср√3/σ_т. (5)

Подставляя значения S и t в формулу (1) и заменяя σ_т на R, получим, приведенное напряжение, котором происходит развитие полного шарнира пластичности в стенках двутаврового пластичности в стенках двутавровых балок,

(6)

где

 σ = M/W^упр; τ = Q/F_ст. (7)

В формуле (6) при σ²/R² множитель получается равным 0,65, в запас его значение округлено до 0,5.

27. Дифференциальные зависимости при изгибе.

В ы делим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dz. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dz будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q_y и M_x в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dz будут возникать поперечные силы Q_y и Q_y+ dQ_y, а также изгибающие моменты M_x и M_x+dM_x. Из условия равновесия выделенного элемента получим: , следовательно ; (6.5) , следовательно (6.6) Первое из двух записанных уравнений дает условие (6.7) Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем (6.8) Рассматривая полученные выражения, совместно можем получить (6.9) Полученные соотношения называют дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского при изгибе. Анализ дифференциальных зависимостей при изгибе по­зволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изги­бающих моментов и поперечных сил: - на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М - наклонными прямыми; - на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры М - квадратичными параболами. При этом, если эпюру М строим «на сжатом волокне», то выпуклость параболы будет направлена против направления действия q, а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию; - в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила, на эпюре ^ Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М - пе­регибы, острием направленные в направлении действия этой силы; - в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент, на эпю­ре ^ Q изменений не будет, а на эпюре М - скачок на величину этого момента; - на участках, где Q>0, момент М возрастает, а на участках, где Q<0, мо­мент М убывает.