2.5 Задачи по разделу 2

Пример 1. Приняты две кодовые комбинации 0001 и 1111. Определить значность кодовых комбинаций, их вес и кодовое расстояние между комбинациями.

Решение:

1. определение значности соответствует количеству разрядов – n в кодовой комбинации: n₁=n₂=4.

2. определение веса по количеству «1» в комбинации: V₁=1;V₂=4.

3. кодовое расстояние между комбинациями – определяется как вес суммы по модулю два кодовых комбинаций: ; d=3.

Пример 2. Принята кодовая комбинация 101011. известно, что вектор ошибки . Найти исходную кодовую комбинацию.

Решение:

Для нахождения кодовой комбинации определим сумму по модулю два для принятой комбинации и вектора ошибки: ; ; ;

Пример 3. Передана кодовая комбинация 1100. Известно, что вес вектора ошибки равен 2. Найти:

1. возможные варианты искаженных комбинаций.

2. кодовое расстояние, необходимое для обнаружения и устранения всех ошибок.

Решение:

1. Возможные варианты комбинаций состоят из тех комбинаций, которые отличаются от исходной двумя позиционными местами, т.к. .

Возможные варианты:1010, 1001, 0110, 0101, 0000.

Проверим комбинации, сложив их по модулю два с исходной комбинацией: .

2. Для обнаружения и исправления всех ошибок необходимо, чтобы кодовое расстояние , где – обнаруживаемые ошибки; – исправляемые ошибки. При разрядности нашего числа могут возникнуть четырехкратные ошибки.

Следовательно, для их исправления и обнаружения необходимо, чтобы кодовое расстояние удовлетворило условию: необходимо увеличить разрядность кода.

Пример 4. Определить корректирующую способность кода, имеющего следующие разрешенные комбинации: 00000, 01110, 10101, 11011.

Решение:

Построим таблицу и определим кодовые расстояния между комбинациями.

Кодовое расстояние ; ; . Следовательно, код обнаруживает двукратные и однократные ошибки.

Устраняет однократные ошибки , т.к. ; при , ; . При кодовом расстоянии код исправляет ошибки.

При , , код исправляет одиночные и двукратные ошибки.

Пример 5. Определить значность кода n, обеспечивающего исправление всех однократных ошибок при количестве разрешенных комбинаций N=8.

Решение:

1. Определим значность кода по формуле: .

2. Определим количество информационных символов- m:

;

; .

При т.к. m<n условие не выполняется;

условие не выполняется;

n=6 условие выполняется.

Следовательно, значность кода n=6.

Пример 6. Заданы кодовые комбинации: 0010, 11011. Образовать для этих комбинаций коды с четным и нечетным числом единиц, код с удвоением элементов и инверсный код.

Решение:

1. Код с четным числом единиц:

0010 10010;

11011 011011.

2. Код с нечетным числом единиц:

0010 00010;

11011 111011.

3. Код с удвоением элементов: 1 10; 0 01.

0010 01 01 10 01;

11011 10 10 01 10 10.

4. Инверсный код:

0010 00101101;

11011 1101111011.

Пример 7. Для кодовых комбинаций определить код Хемминга.

Решение:

1. исходная комбинация 10011.

Представим информационные и проверочные разряды: для комбинации 10011 m=5, разрядность кода n=9. Для 9-и разрядного кода символы а₁, а₂, а₄ и а₈ – проверочные (контрольные), остальные – информационные.

а₉ а₈ а₇ а₆ а₅ а₄ а₃ а₂ а₁

И П И И И П И П П

1 1 0 0 1 1 1 1 1

Находим значение проверочных символов из выражения:

; ;

; ;

; ;

; ;

Причем, S_i =0. Вписываем значение проверочных разрядов и получим комбинацию кода Хемминга: 10011 110011111.

2. Исходная комбинация 111110; m=6; .

Проверочные символы: , , , .

Информационные символы: , , , , , .

а₁₀ а₉ а₈ а₇ а₆ а₅ а₄ а₃ а₂ а₁

И И П И И И П И П П

1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

Определим проверочные символы из выражения:

Исходная комбинация преобразуется в код Хемминга: 111110 1101111011.

Пример 8. Принята искаженная кодовая комбинация, закодированная кодом Хемминга. Определить разряд, где произошла ошибка.

1. 111110110;

2. 1101010111.

Решение:

1) исходная комбинация:

Найдем суммы S_i и определим двоичное число

N=S₄ S₃ S₂ S₁=0100. В четвертом разряде произошла ошибка, т.е. не искаженная комбинация - 111111110.

2) исходная комбинация:

Найдем суммы S_i и определим двоичное число

;

;

;

;

N=0001 , следовательно в первом разряде произошла ошибка

Пример 9. Определить и исправить ошибку в передаваемой комбинации вида:

Для контроля использовать метод четности.

Решение:

Проведем проверку на четность по строкам: k₁=0; k₂=1; k₃=0; по столбцам: k₄=0; k₅=0; k₆=0; k₇=1; k₈=0; k₉=0; k₁₀=0. Проверка показала, что ошибка возникла в разряде второй строки четвертого столбца.

Запишем правильный вариант:

.