1 Вариант

t

Q Q

t₂

0 X

x₁ x₂

t₁ t₁ >t₂

- установившийся режим и одномерное поле,

,

тогда

,

т.к. .

Интегрируя, получим:

или

t = C₁x + C₂ – это уравнение прямой, следовательно t изменяется прямолинейно.

Определим константы интегрирования. Для этого напишем граничные условия:

(x = x₁ = 0; t = t₁); (x = x₂ = ; t = t₂), тогда

с₂ = t₁, a и тогда уравнение прямой:

Отсюда получаем:

подставим в уравнение Фурье и получим:

Q = [ккал]

2 Вариант

Плоская однослойная стенка

t

t₁

t₂

т.к. , тогда

Для многослойной стенки: t

t₁ t₂

Q Q

t₃

x

тогда

Теплопроводность цилиндрической стенки

d₂

t_в

t_M

В общем случае F = f (S) и тогда

Для цилиндрической стенки

, а , тогда

;

;

,

или, заменив r на d получим

.

Умножим и разделим правую часть выражения на (d_H – d_B), тогда

,

где или

Последнее выражение аналогично и для плоской стенки.

Конвективный теплообмен.

Под конвективным теплообменом понимают процесс распространения тепла в жидкости (газе) от поверхности твёрдого тела или к его поверхности одновременно конвекцией и теплопроводностью. Такой случай передачи тепла просто называют теплоотдачей. Основным законом теплоотдачи является закон Ньютона:

При установившемся теплообмене

Обычно практически постоянно и тогда:

Рассмотрим модель теплоотдачи:

t_W

dQ

dF

X t_f

Опыт показывает, что у стенки всегда имеется ламинарная плёнка жидкости, хотя толщина её очень мала, и перепад температур имеет место в близи стенки. Следовательно, тепловой поток у стенки передаётся теплопроводностью, а дальше конвекцией. Представим себе такую толщину ламинарной плёнки (действительная + абстрактная) и назовём её эквивалентной ламинарной плёнкой. Эта плёнка имеет такую толщину, что на её границе температура равна температуре потока, тогда:

;

с другой стороны, согласно закону Ньютона:

и следовательно:

Из этого следует, что чем выше турбулентность потока, тем выше т.к. х уменьшается. Из всего сказанного выше ясно, что решение задач по теплоотдаче сводится к определению , что основано на эмпирических данных.

Критериальное уравнение конвективного переноса тепла.

Согласно рисунку можно написать:

Закон Фурье

Закон Ньютона

Дифференциальное уравнение, характеризующее условия на границе

Выведем уравнение, описывающее процесс распространения тепла в движущейся среде. При конвективном теплообмене, как было показано выше, тепло распространяется конвекцией и теплопроводностью. Тогда полное изменение температуры движущегося элемента можно записать:

,

где W_х W_у W_z – скорости движущихся элементов относительно осей.

И тогда, заменив в уравнение теплопроводности локальное изменение температур полным, получим дифференциальное уравнение конвективного переноса тепла Фурье – Кирхгоффа:

Таким образом, мы имеем два дифференциальных уравнения, описывающих конвективный теплообмен.

,

где - коэффициент температуропроводности, м²/ч.

Эти уравнения математически описывают сложный процесс теплоотдачи, но для большинства случаев, встречающихся на практике, они не разрешимы и по ним нельзя определить . Поэтому применяют теорию подобия, которая позволяет решить эти уравнения в критериальной форме.

Выведем основные критерии теплового подобия:

1) критерий Рейнольдса (от него зависит теплообмен в движущейся среде),

2) критерий Нуссельта

а) возьмём дифф. уравнение, характеризующее условия на границе:

;

б) разделим на левую часть:

где 1 – безразмерный комплекс;

в) сократим знаки дифф. и одноимённые величины.

,

N – характеризует условия на границе, интенсивность теплообмена на границе раздела фаз.

3) критерий Фурье

делим на

Характерная связь между скоростью изменения температурного поля, размерами и физическими характеристиками в нестационарном процессе.

4) критерий Пекля.

делим 2-ой член на

R_e – характеризует отношение тепла, передав. конвек. и теплопроводность. Критерий обычно представляют в виде произведений критериев R_e и P_r.

,

где ;

характеризует поле теплофизических величин

В случаях, когда теплообмен происходит в результате естественной конвекции, обусловленный разностью плотностей жидкости в различных точках системы, процесс характеризуется критерием Архимеда

где - плотности холодной и нагретой жидкости.

Из критерия Архимеда получается критерий Грасгоффа, путём замены на , т.к. - определяет разности температур в точках системы

.

Таким образом, в общем виде критериальное уравнение для конвективного теплообмена будет иметь вид:

Опытные данные по конвективному теплообмену

Для расчётов в процессах теплоотдачи надо уметь пользоваться опытными данными, т.е. произвести выбор тех данных, которые соответствуют конкретному случаю теплоотдачи. Это важно, т.к. опытных данных по конвективному теплообмену очень много и они позволяют рассчитать для всех основных случаев теплообмена.

Свободное движение жидкости

Свободное движение жидкости происходит за счёт разности плотностей нагретых и холодных частей, а это зависит от разности температур твёрдого и жидкого тела. Следовательно, одним из определяющих критериев должен быть критерий Грасгоффа. С другой стороны также зависит и от теплофизических параметров жидкости, т.е. в критериальном уравнении должен быть критерий Прандтля (P_r). Опытные данные обрабатывают по уравнению:

,

где с и n – постоянные величины, получаемые опытным путём.

Имеются таблицы значений этих величин в зависимости от произведения (w_r * P_r)

Теплоотдача при вынужденном движении жидкости

Очевидно, не может вызывать сомнения, что интенсивность теплоотдачи при вынужденном движении жидкости зависит от характера этого движения и следует различать три вида этого движения:

1) установившийся турбулентный режим, R_e > 10000;

2) переходный режим 2300 < R_e <10000;

3) ламинарный режим R_e < 2300.

Поэтому для каждого режима (а в каждом режиме, как правило, есть ещё и частные случаи) имеются свои, полученные опытным путём, критериальные уравнения.

Изменение состояния в химической технологии в большом количестве процессов теплоотдачи сопровождается изменением агрегатного состояния. Поэтому на этом случае теплоотдачи стоит остановиться подробнее. Особенности таких процессов теплообмена заключается в том, что тепло подводится к материалам и отводиться от них при постоянной температуре и распространяется не в одной, а в двух фазах. Эти особенности передачи тепла, следовательно, должны быть учтены.

Рассмотрим процесс теплообмена при конденсации пара.

dQ

W dF x

, [ккал/час]

С другой стороны это же количество тепла отводится от поверхности теплопроводностью и можно записать:

, [ккал/час]

тогда

или

.

Заменив в последнем выражении , получим:

.

Преобразуем последнее выражение методом подобия и получим:

Полученный критерий представляют в виде произведения двух критериев, причём температуру заменяют некоторой разницей температур, т.е.

,

где k – критерий теплового подобия при изменении агрегатного состояния;

- разность между температурой фазового перехода и температуры одной из фаз;

с* - теплота перегрева или переохлаждения рассматриваемой зоны относительно температуры фазового превращения.

Из различных случаев теплоотдачи при изменении агрегатного состояния наибольшее значение для процессов химической технологии имеет теплоотдача при конденсации паров и теплоотдача при кипении жидкости.

В тепловых процессах осуществляется передача тепла – теплопередача от одного теплоносителя к другому.

Тепловое излучение

По своей физической сущности тепловое излучение совершенно аналогично излучению света и отличается только длиной волны 0,8 – 40 мк.

Энергия излучения Е (в единицу времени и с единицы поверхности) зависит от длины волны и от температуры. Для абсолютно чёрного тела эту зависимость даёт теоретическое уравнение Планка:

,

где С₁ и С₂ – универсальные постоянные (С₁ = 3,17*10^-16 ккал*м²/час; С₂ = 0,0143 м*град).

Характер зависимости представляет изотерму с максимумом, и чем выше температура тела, тем максимум больше сдвинут в область коротких волн.

Y₀

1200⁰

1000⁰

800⁰

Можно записать:

Интегрирование этого выражения даёт зависимость лучеиспускательной способности абсолютно чёрного тела.

Закон Стефана – Больцмана:

E₀ = k₀*T^U,

где k₀ = 4,9*10^-8 ккал/м²*час*⁰К

Для большего удобства при технических расчётах эту зависимость применяют в следующем виде:

,

где С₀ = 4,9 ккал/м²*час*⁰К – коэффициент излучения абсолютно чёрного тела.

Опытные работы Стефана и других учёных показали, что этот закон применим не только к абсолютно чёрным телам, но и к серым телам и записывается в следующем виде:

,

где С [ккал/м²*час*⁰К] – коэффициент излучения серых тел (всегда меньше С₀ и изменяется от 0 до 4,9).

Отношение - называется степенью черноты тела и тогда закон изменения серых тел выражается так:

.

Закон Кирхгофа.

Он устанавливает соотношение между лучеиспускательным и поглощательными способностями тел, это соотношение можно получить из рассмотрения процесса обмена лучистой энергии между абсолютно чёрным и серым телом.

Т₀ Е Т

Е₀ Е₀ Е

А₀ А

Е₀(1-А) Е₀А

T > T₀, тогда абсолютно чёрное тело суммарно получает энергии:

q = E+E₀ (1 - A) – E₀ =E-T₀*A,

а если Т = Т₀, тогда q = 0, и Е = Е₀*А или

Е₀ = Е/А,

т.е. отношение лучеиспускательной способности к поглощательной для всех тел одинаково и равно лучеиспускательной способности абсолютно чёрного тела и зависит только от температуры. В практике больше всего приходится рассчитывать теплообмен между телами.

Количество тепла q рассчитывают по уравнению:

,

где С_1-2 - приведённый коэффициент лучеиспускательной способности тел, ккал/м²*час*⁰К,

при чём это уравнение легко выводится из теплового баланса тел.

Лучеиспускательной способностью обладают некоторые газы (водяной пар, аммиак, углекислота и сернистый газ). Уравнение для расчёта количества тепла переданного газом за счёт лучеиспускания подобно выше приведённому примеру.

(*)

Практически лучистый теплообмен всегда сопровождается конвективным теплообменом, поэтому приведем уравнение (*) к другому виду.

Для этого умножим и разделим уравнение на (t₁ – t₂) и получим:

,

обозначим последнее выражение , тогда

,

где - коэффициент теплоотдачи лучеиспускания .

Определение поверхности нагрева

Расчёт теплообменной аппаратуры, как правило, сводится к расчёту поверхностей теплопередачи. Поверхность теплопередачи определяют по основному уравнению теплопередачи:

Количества тепла определяют по уравнениям теплового баланса.