Вычисление факториала
Классическим
примером рекурсивной функции является
вычисление факториала. Из курса математики
известно, что
,
.
С другой стороны
.
Таким
образом, нам известны два частных случая
параметра
,
а именно
и
,
при которых мы без каких-либо дополнительных
вычислений можем определить значение
факториала.
Во
всех остальных случаях, то есть для
,
значение факториала может быть вычислено
через значение факториала для параметра
.
Таким образом, рекурсивная подпрограмма будет иметь вид:
function Factorial (n:byte):longint; begin
if (n=0) or (n=1) {описываются условия граничных случаев}
then Factorial:=1 {точка возврата или остановка рекурсии} else Factorial:= Factorial (n-1)*n; { шаг рекурсии }
end;
Или так
function Factorial (n:byte):longint; begin
if n>0 then Factorial:= Factorial (n-1)*n; { шаг рекурсии }
else Factorial:=1 {точка возврата или остановка рекурсии} end;
На рисунке 16.2 показан процесс вычисления для случая Factorial(4).
Первый вызов функции осуществляется из основной программы, например a:= Factorial(4). Он продолжается до тех пор, пока значение локальной переменной не становится равной 1. После этого начинается выход из рекурсии. В результате вычислений получается, что Factorial(4)=4*3*2*1.
Сначала образуется так называемый рекурсивный фрейм №1 при n=4. Для этого фрейма отводится память и в нем фиксируются все значения переменных тела функции при n=4. Отметим, что в рекурсивном фрейме фиксируются значения всех переменных функции, кроме глобальных.
Рис. 16.2. Вычисление функции Factorial(n) для n=4.
Затем происходит вызов Factorial(n) при n=3. Образуется фрейм №2, где фиксируются значения переменных тела функции при n=3. При этом фрейм №1 также хранится в памяти. Из фрейма №2 происходит обращение к Factorial(n) при n=2. В результате этого обращения образуется фрейм №3, где фиксируются значения переменных тела функции при n=2 и т.д. до тех пор, пока при очередном обращении к функции Factorial условие n>0 не примет значение false.
Это произойдет в фрейме №5. В этом фрейме мы получим значение Factorial =1 и передадим это значение в фрейм №4. После этого фрейм №5 будет уничтожен, так как обращение Factorial(n) при n=0 будет выполнено.
В фрейме №4 мы вычислим значение Factorial(n) для n=1. После чего мы передадим это значение во фрейм №3, а фрейм №4 будет закрыт, так как обращение к Factorial(n) при n=1 будет закончено.
Так мы будем сворачивать эту цепочку фреймов в последовательности, обратной той, в которой мы их порождали, пока не свернем фрейм №1. После чего вычисление функции будет окончено.
Рекурсивные подпрограммы применяют для компактной записи алгоритмов, имеющих рекурсивную природу.
Любую рекурсивную подпрограмму можно реализовать без применения рекурсии. Запись ее в этом случае может значительно удлиниться, зато уменьшится расход времени и памяти на повторные вызовы и передачи копий параметров.
Существует два важных положения, известных в математике и в программировании, определяющих соотношение между итерацией и рекурсией:
- Любой итеративный цикл может быть заменен рекурсией.
- Рекурсия не всегда может быть заменена итерацией.
Большая часть всех шуток о рекурсии касается бесконечной рекурсии, в которой нет условия выхода, например, известно высказывание: «чтобы понять рекурсию, нужно сначала понять рекурсию».
В действительности итерация и рекурсия взаимозаменяемы.
Пример:
function fact (n: integer): longint;
begin
if n=0 then fact:=1
else fact:=n*fact(n-1);
end;
begin
f:=1;
for i:=1 to n do
f:=f*i;
end.
Оба алгоритма имеют линейную сложность, но для рекурсивной процедуры требуются дополнительные расходы памяти и времени, т.к. происходит многократное обращение из подпрограммы к самой себе. Должно создаваться и сохраняться много копий регистров, переменных и точек возврата.
Для хранения этой информации используется стековая память, поэтому в данном случае предпочтительнее итерационная форма.
Реализуем вычисление факториала, как в виде функции, так и в виде процедуры на языке Pascal.