2.2. Некоторые линии в прямоугольнике Эджворта

В прямоугольнике Эджворта можно построить две линии: линию равного выпуска и линию максимального совместного выпуска.

а) Линия равного выпуска. Имея различные производственные возможности, предприятия производят одинаковое количество продукции, y₁ = y₂, . Так как l₂=L – l₁, k₂=K – k₁, то из равенства выпусков получаем уравнение линии равного выпуска в координатах l₁, k₁:

.

Н етрудно показать, что линия равного выпуска соединяет левый верхний угол прямоугольника Эджворта с его нижним правым углом (рисунок 6).

Если предприятия однотипны, то есть а₁=а₂, α=γ, то линия равного уровня симметрична относительно центра прямоугольника, её уравнение имеет вид:

,

при α=β линия уровня – диагональ «ящика».

б) Линия максимального совместного выпуска. Рассмотрим, при каких значениях затратных ресурсов первого предприятия (а, значит, и второго) достигается максимум совокупного выпуска у = у₁ + у₂ . Имеем:

.

.

Условия максимума у:

,

.

Разделив первое уравнение на второе, получим уравнение искомой линии:

или ,

где – сравнительный коэффициент капиталоёмкости (при р>1 выпуск первого предприятия более капиталоёмкий, чем выпуск второго; при р<1 – наоборот). Нетрудно увидеть (пусть l₁ = 0, тогда k₁ = 0; пусть l₁ = L, тогда k₁=K), что линия максимального совокупного выпуска соединяет левый нижний угол прямоугольника Эджворта с его правым верхним углом. При р>1 линия максимального совокупного выпуска имеет горизонтальную асимптоту:

, линия выпукла вверх (рисунок 7.а).

При р<1 , переписав уравнение линии в виде: , видим, что линия имеет вертикальную асимптоту ; линия выпукла вниз (рисунок 7.б).

2.3. Некоторые задачи для модели Эджворта

а) Если измерять затратные ресурсы в стоимостном выражении в ценах текущего периода, то l+k – издержки производства, у – доход от реализации продукции. Пусть первое предприятие, находясь в текущем периоде в затратном состоянии (l₁ ,k₁), получает каким-то образом (например, арендуя у второго предприятия) дополнительные затратные ресурсы Δs=Δl₁+Δk₁. Оно желает использовать их так, чтобы получить наибольшее приращение Δу₁ дохода. Надо найти соответствующее распределение Δs на оплату Δl₁ дополнительных трудозатрат и на стоимость Δk₁ дополнительных основных фондов. При этом первое предприятие не интересует, что будет с доходом второго предприятия.

Зная производственную функцию, можно указать направление наибольшего роста у₁ из точки (l₁, k₁). Это направление градиента производственной функции в точке (рисунок 8.а):

.

Градиент перпендикулярен изокванте в каждой её точке. Как следует из рисунка 8.б, угол φ наклона градиента определяет распределение Δl₁ и Δk₁:

, , ,

Таким образом, распределяя Δs и двигаясь в направлении у₁, переходим в новое затратное состояние (l₁+Δl₁, k₁+Δk₁) на новой изокванте.

Надо предостеречь, что такой подход верен только для малых Δl₁, Δk₁, так как в окрестности точки (l₁, k₁) градиент у₁ имеет переменное направление.

Получаем приращение Δу₁ дохода, , и приращение прибыли ΔП=Δу₁–Δs, с учётом возврата Δs второму предприятию ΔП=Δу₁–2Δs. Второе предприятие имеет следующие результаты: , , ΔП=Δу₂+Δs. Может оказаться, что первое предприятие, расширяя производство, получает отрицательное ΔП; второе предприятие, сокращая производство и получая обратно Δs, имеет положительное ΔП.

б) Отметим две особенности постановки и решения предыдущей задачи. Мы стремились к max Δу₁ и не интересовались изменением у₂. При движении вдоль градиента у₁ всегда Δl₁>0, Δk₁>0.

Пусть теперь, находясь в затратном состоянии (l₁, k₁) и стремясь увеличить выпуск (доход) у₁, первое предприятие не желает при этом ухудшения положения второго предприятия. Надо найти такое новое затратное состояние, при котором первое предприятие увеличит выпуск, а второе предприятие сохранит выпуск неизменным. Такое новое затратное состояние должно быть предельным в том смысле, что из него уже нельзя выйти на другое, не уменьшая выпуск второго предприятия. Это предельное затратное состояние называется Парето-оптимальным (по имени итальянского экономиста Вильфредо Парето (1848 – 1923)). (Понятие Парето-оптимальности вносит в экономическую деятельность принципы христианской морали).

Эта задача решается аналитически, однако мы рассмотрим только геометрическую интерпретацию решения. Она представлена на рисунке 9.

Ч ерез исходную точку (l₁, k₁) проходят изокванты обоих предприятий. Будем смещать изокванту первого предприятия в сторону увеличения выпуска. Точка затратных состояний обоих предприятий, являясь точкой пересечения изоквант, должна скользить вдоль неподвижной изокванты второго предприятия (второе предприятие сохраняет выпуск неизменным). В этом случае последней общей точкой двух изоквант является точка их касания. Это и есть точка Парето-оптимального затратного состояния. На рисунке 9 видно, что изменения затратных ресурсов таковы: Δl₁<0, Δk₁>0.

в) Возможна следующая («коммунистическая») модель экономики. Предприятия договариваются о равных объёмах выпуска продукции при максимальном совокупном её количестве. В этом случае их затратные состояния представляются единственной точкой пересечения линии равных объёмов продукции и линии максимального совокупного выпуска продукции. Данная модель представляет статичную экономику, в которой отсутствуют стимулы деятельности её субъектов.