1.2. Построение модели доходов и издержек

Заменяя конечные приращения в (2) бесконечно малыми и переходя к математической записи, получаем задачу для дифференциального уравнения:

(4)

Значения х₊, р₊ в начальном условии задачи (4) – данные по ситуации на рынке в прошлый (базисный) период. После процедуры интегрирования:

,

находим:

(5)

Кривая р(х) показана на рисунке 2. Необходимо предостеречь, что р(х) – это не кривая спроса на рынке рассматриваемого продукта-товара, а реакция рынка на объёмы товара, поставляемого данным предприятием.

И з выражения (5) следует, что при х<х₊ имеем р(х)>p₊, если же х>х₊, то р(х)<p₊. Выбор направления изменения объёма х (рост или снижение реализуемого выпуска) зависит от реакции дохода на это изменение.

Найдём доход:

, (6)

где - доход базисного периода

Так как R(x) должна быть возрастающей функцией аргумента х, то должно выполняться условие: R'(x)>0.

У нас , откуда следует ограничение на значения коэффициента α: α<1. Итак, 0<α<1. Согласно определению, эластичность дохода по объёму реализуемого выпуска равна:

.

Таким образом, эластичности цены и дохода по объёму выпуска-реализации связаны между собой: сумма их абсолютных величин равна единице.

Если провести рассуждения, аналогичные таковым при выявлении структуры функции рыночной цены, то можно получить зависимость себестоимости q от объёма х выпуска:

, 0<γ<1.

Переменные издержки V(x) находятся аналогично R(x):

.

1.3. Определение оптимального объёма выпуска продукции

Найдём оптимальный по максимуму прибыли объём х^* выпускаемой продукции:

.

(7)

П ри не очень высоких издержках F и при α>γ (снижение цены интенсивнее снижения себестоимости) достигается max П(х) именно при х=х^*; значения х, меньшие или большие х^*, доставляют меньшую прибыль. Именно такую ситуацию иллюстрирует рисунок 1. Если α<γ, то прибыль неограниченно возрастает при х>х₀, значение х^* показывает объём выпуска продукции, приносящий наибольшие убытки. Ситуация α<γ описывает крупную корпорацию, способную вложить большие средства в развитие производства достаточно востребованного продукта (рисунок 3).

Для малого предприятия выпуск в переменном (и небольшом) объёме х не влияет на цену р. Предприятие планирует продукт-товар по цене р, использует ограниченные по возможностям ресурсы и технологию, что означает: q=const. Следовательно, R(x)=px, T(x)=F+q∙x, графики R(x) и T(x) – прямые. Если наклон T(x) меньше наклона R(x):

tqα_T=T^'(x)=q<p=R'(x)=tqα_R,

то прибыль положительна и возрастает при х>х₀ (рисунок 4).

2. Модель Эджворта замкнутой системы двух предприятий

2.1. Постановка задачи

Рассмотрим замкнутую экономику, состоящую из двух предприятий, каждое из которых, затрачивая два вида ресурсов – труд и капитал (основные фонды), производит один и тот же продукт. Совокупные в системе объём основных фондов К и объём трудозатрат L ограничены и постоянны. Переменны соответствующие затратные ресурсы k₁ и l₁ первого предприятия и ресурсы k₂ и l₂ второго предприятия, при этом

l₁ + l₂ = L = const, k₁ + k₂ = K = const

Объёмы у₁ и у₂ продукции, выпускаемой предприятиями, описываются производственными функциями типа Кобба-Дугласа:

, , .

Здесь a_i – мощности предприятий; α,γ – коэффициенты эластичности выпуска по труду; β,δ – коэффициенты эластичности выпуска по капиталу. Рассматривается выпуск продукции за период (год).

Для двух предприятий с двумя затратными ресурсами для каждого из них аргументы производственных функций являются координатами одной точки в так называемом «ящике Эджворта» (прямоугольнике с размерами сторон L и K). При этом декартовые координатные системы аргументов привязываются к диаметрально противоположным углам прямоугольника, как это показано на рисунке 5. Таким образом, каждая точка прямоугольника (имеющая одновременно два координатные представления – (l₁,k₁) и (l₂,k₂)) описывает затратное состояние простейшей экономической системы, состоящей из двух предприятий.

П оэтому любое изменение положения точки означает перераспределение затратных ресурсов между предприятиями и, соответственно, изменение объёмов выпусков продукции. Пусть на конец предшествующего периода затратное состояние экономики характеризовалось определённой точкой прямоугольника.

На новый период одно или оба предприятия желают изменить ситуацию, стремясь увеличить выпуск продукции.

Возможны различные варианты решения – стремление к max (y₁+y₂), достижение max y₁ за счёт заёма или захвата части ресурсов второго предприятия без учёта его интересов, достижение max y₁ без снижения выпуска вторым предприятием, другие решения. Ставится задача выбора оптимального набора приращений затратных ресурсов для первого предприятия в этих вариантах; конечно же, роли первого и второго предприятий можно поменять местами.