Введение

Данная методическая разработка будет полезной студентам, освоившим курс «Математические методы экономических исследований». Ее содержание соответствует программе дисциплины «Математическое моделирование экономических систем», принятой в Сибирском филиале Международного института экономики и права (СФ МИЭП г. Новокузнецк). В курсе «Математические методы экономических исследований» основное внимание обращается на типы и свойства тех математических структур и задач для них, которые можно привлечь к анализу экономических ситуаций. В «Математическом моделировании …» ставится другая цель. Любая экономическая ситуация должна рассматриваться с её предысторией и последствиями, то есть как экономический процесс. Здесь необходимо произвести декомпозицию содержательного процесса на его элементы, выделить простейшие сущностные свойства элементов и подобрать для них подходящее математическое описание. Так создаются блоки будущей математической модели. Затем наступает очередь «сборки» – синтеза модельных блоков в единую систему, модель процесса, адекватную содержательным представлениям о процессе. И, наконец, анализ модели, позволяющий заключать о возможности достижения желаемой ситуации и давать прогнозы. В силу сказанного главная задача курса «Математическое моделирование экономических систем» - на классе примеров привить некоторые навыки перевода содержательных экономических размышлений в технологию конструирования математических моделей. Поэтому в данной методической разработке не рассматриваются вопросы методологии (общее понятие модели, классификация моделей и т. п.).

Материал методической разработки включает микроэкономические постановки по темам выпуска продукции, дохода, издержек, прибыли (модель Эджворта, модель прибыли крупного предприятия); некоторые постановки, продолжающие тему линейного программирования (задача об оптимальных назначениях, транспортная задача, динамическое программирование); макроэкономические модели экономики (неоклассическая, модель Кейнса, модель с управлением по магистрали экономики). Авторы посчитали уместным показать важность прогностического моделирования на примере проектов Римского клуба. Избраны те методы решения задач для моделей, которые наиболее понятны с позиций экономического мышления или доступны по компьютерным возможностям.

Предлагаемый материал отражает опыт авторов преподавания дисциплины «Математическое моделирование экономических систем» в СФ МИЭП в 1995 – 2011 г.г. Семестровый лекционный курс поддерживался практическими занятиями и контролируемой самостоятельной работой студентов (по индивидуальным заданиям).

1. Оптимизация выпуска продукции предприятия при постоянстве эластичностей рыночной цены и себестоимости по объёму выпуска

1.1. Постановка задачи

Рассмотрим отдельное предприятие, за определённый период времени производящее и реализующее один продукт-товар в количестве х. Предприятие продаёт продукцию по цене р, получает доход R(x)=px. На производство товара в количестве х предприятие затратило средства–издержки производства:

T(x)=F+V(x)=F+qx

Здесь F – постоянные затраты, не зависящие от объёма производства (расходы на управление, проведение исследовательских работ, маркетинг); q–внутренняя цена продукта (себестоимость производства единицы продукции); V(x) – затраты, напрямую зависящие от х (расходы на сырьё, полуфабрикаты, энергию, оплату труда производственного персонала); говорят, что V(x)–переменные издержки. По смыслу и определению R(x), V(x), T(x) – возрастающие функции х, причём R(0)=V(0)=0. Движущее начало производственной деятельности – получение прибыли

П(х)=R(x)-V(x)>0

Предприятие стремится к максимальному значению П(х). Достичь этого можно при выполнении двух условий:

• превзойти объём выпуска х₀, обеспечивающего положительность П(х);

• найти объём выпуска х^*, при котором max П(х)=П(х^*) (рисунок 1).

C точки зрения математики поиск max П – решение задачи об экстремуме функции П(х); из равенства нулю производной П'(x) находится точка х^* подозрительная на экстремум:

.

Прибыль максимальна, если предельный доход равен предельным издержкам.

Значение оптимального объёма выпуска х^* и величина П(х^*) зависят от кривизн линий R(x), T(x).

Кривизны определяются зависимостями цены р и себестоимости q от объёма х выпускаемой и реализуемой продукции.

Положим, что наше предприятие – достаточно крупное по объёму поставляемой на рынок продукции, изменения объёмов влияют на рыночную цену продукции. Именно, рост объёма приводит к снижению цены. Принимаем постулат: для любого количества х определённый, постоянный процент приращения Δх вызывает один и тот же процент уменьшения цены (Конечно, этот постулат приложим только для некоторого интервала достаточно больших значений х):

(1)

Если переписать постулат (1) в виде:

, (2)

то его можно сформулировать как предположение о постоянстве эластичности рыночной цены по объёму продукции.

При установлении зависимости q(х) будем исходить из кривой опыта (так называется закономерность, подмеченная исследователями в развитии авиапромышленности США в 20-ых годах ХХ века): увеличение объёма выпуска в два раза приводит к 20%-му снижению себестоимости продукции. Это означает, что эластичность себестоимости по объёму выпуска постоянна и равна – 0,20:

увеличение выпуска на 1% ведёт к снижению себестоимости на 0,20%.

Поэтому примем, что прирост выпуска на 1% с любого значения х объёма выпуска приводит к снижению себестоимости на одну и ту же величину γ%:

γ>0 (3)