8.2. Решение задачи
Пусть
– производственная функция для валового
продукта x(t)
экономики. Перейдём к новым, «подушным»,
переменным:
,
,
это средние фондовооружённость и
производительность труда соответственно.
Так как
,
то
– удельная производственная функция
явно от
не зависит.
Полагаем, что
скорость прироста рабочей силы (заметьте,
именно рабочей силы, а не необходимых
для экономики трудозатрат) пропорциональна
её текущему объёму:
,
n=const,
0<n<1.
Так как
,
то
.
Подставляя выражения
,
в систему уравнений (5), перепишем задачу:
(6)
Пусть
– решение задачи. Найдём полную скорость
роста
во времени:
.
Математическими средствами найдено,
что максимум функционала
достигается тогда, когда при решении
задачи (6) можно найти такие функции
,
чтобы в каждый момент времени t
достигала максимум функция формальных
аргументов
:
. (7)
Смысл этого
требования прост: в каждый данный момент
t
сумма скорости роста производительности
труда
и скорости роста подушного потребления
должна быть максимальной.
Дадим оценку зависимости между приростом фондовооружённости и приростом производительности труда: положим, что в каждый момент времени t отношение второго прироста к первому равно дисконтирующему множителю в сумме среднедушевого потребления за Т лет:
.
Отсюда получаем
представление:
.
В момент времени t=0
имеем:
.
Но, согласно подушной производственной
функции,
.
Следовательно,
,
и функция
имеет структуру
,
в которой зависимость множителя
подушной производственной функции от
времени представлена в виде множителя
.
Итак,
,
.
Подставляя эти выражения в слагаемые
функции (7), получаем её новый вид:
,
в
которой устранена явная зависимость
от u.
Далее, формальные переменные
и
связаны структурой производственной
функции:
.
Уточняя вид функции р,
получаем:
Из необходимого
условия экстремума
,
,
находим:
.
Введём оценку
мощности экономики
.
Предположим, что она возрастает со
временем по экспоненциальному закону:
,
p
– индекс
мощности. Тогда простейшая зависимость
от времени имеет вид:
. (8)
Функция
(8) (и её график), при которой достигается
max∑,
называется магистралью
экономики. Ввиду того, что p>0,
,
магистраль – возрастающая
функция времени.
Замечания.
Требование
максимума для функции
является переформулировкой вариационной
задачи для функционала ∑.
При кажущейся сложности выкладок решение
(8) в виде магистрали экономики весьма
примитивно. Оно основывается на целом
ряде упрощающих (иногда – сомнительных;
например, по i):
–это
и численность работников, и численность
населения) предположениях:
i)
,
ii)
,
iii)
.
Однако в этом и состоит смысл моделирования – при допустимых и правдоподобных упрощениях находить основные характеристики и тенденции развития экономических систем.
8.3. Доля потребления конечного продукта; пример
Возвращаясь к
постановке задачи, следует найти долевую
функцию u(t)
потребления конечного продукта. Имея
в виду, что
,
где
определяется согласно (8), из дифференциального
уравнения:
получаем равенство:
,
.
Так как
,
то
– доля потребления конечного продукта
в течение Т
лет постоянна
(при указанных выше предположениях).
Так как обычно
,
то
,
доля потребления больше эластичности
валового продукта по труду.
Процесс экономического
развития, протекающий согласно магистрали
,
оптимален.
Если процесс не оптимален, существует
переходный режим длительностью t
выхода на оптимальную магистраль. В
качестве примера ниже приведены расчётные
параметры модели развития
несельскохозяйственной экономики США
за 20 лет (с 01.01.1947 г. по 01.01.1968 г., годы
«холодной войны») и соответствующая
магистраль экономики этого сектора.
p=0,020; α=0,69; β=0,31; δ=0,10; μ=0,077; n=0,010;
Оптимальная
магистраль:
.
Реальная
магистраль:
.
u=0,81; τ=4 года.
П
о
уровням фондовооружённости реальная
магистраль в 3 раза ниже оптимальной.
Тем не менее, оптимальная магистраль предусматривает довольно высокую долю потребления - 0,81 конечного продукта. Переход на оптимальную магистраль (например, в случае военной мобилизации экономики) возможно осуществить за 4 года.