7.3. Акселератор доходов
Рассмотрим ситуацию,
когда потребители проявляют осмотрительность
и расчётливость. Их не привлекает
возможный прирост доходов в текущем
году. Они сравнивают прирост
дохода за прошлый год с ожидаемым
приростом
дохода в конце текущего года:
.
Фактически
является конечноразностной аппроксимацией
второй производной
при
(один год). В случае
потребители согласны долю k
величины
направить на инвестиции и ликвидные
сбережения. Получаем модификацию баланса
(2):
(3)
и
задачу для неё:
По корням
характеристического уравнения
находим общее решение однородного
дифференциального уравнения второго
порядка
:
.
По виду правой части уравнения задачи,
предполагая его частное решение в виде
,
получаем:
,
D=0.
Имея общее решение уравнения задачи:
,
используя
начальные условия
,
находим прогноз общего дохода в модели
с акселератором:
Третье слагаемое
общего дохода – необходимый рост для
обеспечения «привычных» вложений в
инвестиции и ликвидные сбережения,
первое и второе слагаемые обеспечивают
рост дохода в обмен на обещание направить
долю k
ускорения
роста дохода на инвестиции и ликвидные
сбережения. Слагаемое
в модели (3) называется акселератором
доходов
модели, коэффициент k
– мощностью
акселератора.
Оценивая в целом динамику общего дохода, можно сказать, что прогнозные значения общего дохода в конце текущего года (t=1) для моделей с мультипликатором и акселератором различаются несущественно, но уже в конце третьего года акселераторный доход может превысить мультипликаторный в два раза.
8. Модель управления экономикой через основные производственные фонды
8.1. Постановка задачи
В этой модели объединяются уже рассмотренные ранее элементы теоретических представлений. Рассматриваются сводные скалярные величины, характеризующие экономику страны как замкнутую систему.
Введём следующие обозначения величин в стоимостном выражении:
Х – валовой продукт, у – конечный продукт, с – потребление конечного продукта, I – инвестиции в экономику, k – объём основных производственных фондов, l – объём используемых трудовых ресурсов; все величины предполагаются функциями времени t. Указанные величины связаны соотношениями (балансами):
x(t) = ах(t) + у(t), a=const, 0 < а <1; (1)
y(t) = c(t) + I(t), (2)
I(t)
=
. (3)
Баланс (1) является
однопродуктовой моделью Леонтьева,
баланс (2) взят из моделей макроэкономического
равновесия (описание производителей).
Баланс (3) – элемент новизны данной
модели. Если измерять время в годах, то
- приращение основных фондов за
год.
Таким образом, инвестиции данного года
расходуются на возмещение износа
существующих основных фондов с
коэффициентом амортизации
и приобретение новых фондов.
Как и ранее, предполагается, что потребление с является долей u конечного продукта у, но долей, переменной во времени:
.
Так как у=(1–а)х, с=uу, то с=(1–а)хu . Подставив это выражение, а также балансы (2), (3) в уравнение (1), получаем дифференциальное уравнение :
.
(4)
В уравнение (4) входит искомая функция k(t); неизвестные функции u(t), x(t) надо определить так, чтобы при найденной k(t) выполнялось некоторое оптимальное для экономики условие. Сформулируем это условие в виде требования максимума среднедушевого потребления за длительный период Т.
Пусть
- начала первого, второго,…, n-го
года соответственно;
.
Обозначив
,
,…,
,
получаем оценки потребления конечного
продукта одним работником по годам:
,
,
.
Если мы хотим
просуммировать среднедушевые потребления
по годам, то слагаемые суммы следует
привести к данному первому году, используя
дисконтирующий множитель
,
– коэффициент дисконтирования:
Предел этой суммы
при
– определённый интеграл
– объём среднедушевого
потребления за Т
лет.
Так как
,
то с точки зрения математики получаем
смешанную задачу для системы
дифференциального уравнения и функционала,
предполагаемым решением которой являются
функции k(t),
x(t),
u(t):
(5)