7.2. Мультипликатор доходов

Согласно модели Кейнса . Обозначим А(i)=I(i)+Q(i) часть сбережений, зависящую от нормы i банковского процента; имеем: S=C(S)+A(i). Изменение дохода раскладывается на две части: ΔS=ΔC+ΔA. При малых изменениях получаем: , , отсюда:

(1)

Рассмотрим смысл производной . Из представления S=C+A и смысла входящих в это представление величин следует, что C<S, при росте S растут и C, и A. Следовательно (рисунок 21), угол наклона касательной к графику функции C(S) меньше π/4. Получаем ограничение: . Используем оценку производной:

.

Пусть ΔS = 1, тогда .

Таким образом, – доля расходов на потребительские товары и услуги в каждом рубле дополнительных доходов. Пусть =0,75. Это означает, что 75 копеек из каждого рубля дополнительных доходов расходуются на потребительские товары и услуги.

Число называется предельной склонностью к потреблению при данном доходе S₀. Вернёмся к выяснению смысла равенства (1).

Коэффициент в правой части равенства называется мультипликатором (умножителем) доходов. Пусть =0,75, тогда . Это означает, согласно (1), что на единицу прироста расходов А на инвестиции и ликвидные сбережения потребители получают увеличение доходов на 4 единицы. Нетрудно заметить, что, чем больше , тем в большее число раз возрастают доходы в ответ на одну и ту же единицу прироста А. Однако это только тенденция текущего момента с данным S. Всегда выполняется баланс ΔS=ΔC+ΔA, поэтому любое увеличение ΔA влечёт уменьшение ΔC – прироста потребительских расходов. В равенстве (1) при 1 имеем dA 0, получаем неопределённость, равную dS: .

Роль мультипликатора как тенденции может быть оценена только в динамике, когда рассматривается не текущее состояние, а состояние экономики за несколько лет. Вернёмся к соотношению S=C(S) +A(i) как описанию предположения на текущий год t, выдвинутому в начале года. Все величины соотношения – переменны во времени:

S(t)=C(S(t)) + A(t).

Предположим простейший вид функции C(S) – линейный: C(S)=cS, коэффициент с является постоянной склонностью к потреблению, 0<c<1. Вложения A(t) представим состоящими из двух частей: привычной для потребителей части с тенденцией роста в виде линейной функции времени – at, и части kΔS, ориентирующейся на ожидаемое в текущем году приращение ΔS=S–S₀ доходов по сравнению с прошлым годом S₀=S(t–1); k - коэффициент пропорциональности, имеющий смысл доли дополнительного дохода, направляемой на инвестиции и ликвидные сбережения, 0<k<1. Получаем:

. (2)

Если считать год единицей измерения времени, то период времени в один год – приращение Δt времени, численно равное единице. Тогда ΔS численно является оценкой производной :

.

Имеем задачу для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

По корню характеристического уравнения находим общее уравнение уравнения без правой части (–at): , G – произвольная постоянная. Частное решение уравнения с правой частью ищем в виде:

. Подставляя предполагаемое частное решение в дифференциальное уравнение, находим коэффициенты:

, .

Тогда общее решение уравнения с правой частью имеет вид:

.

С учётом начального условия S (0) = S₀ решение нашей задачи имеет вид:

.

Первое слагаемое решения с экспоненциальным множителем является реакцией экономики на намерение направлять часть дополнительных доходов на инвестиции. Условие экспоненциального роста доходов: ; при выполнении этого условия ежегодные темпы прироста доходов возрастают. Второе слагаемое общего дохода – это решение уравнения-баланса (2) при . Оно описывает тот общий доход, который должны иметь потребители, если они хотят сохранить «привычный» темп ежегодного роста инвестиций и ликвидных сбережений и «привычную» долю потребления общего дохода; ежегодный темп роста доходов должен в раз превышать постоянный темп роста вложений в инвестиции и сбережения.

Правильно называть мультипликатором модели доходов слагаемое в модели (2) формирования доходов, коэффициент k тогда – мощность мультипликатора. Именно обещание инвестировать часть будущих дополнительных доходов обусловливает появление экспоненциальной составляющей общего дохода и возрастающего темпа прироста этого дохода.