Метод неопределённых коэффициентов
Данный метод применяется только в случае, когда f(x) имеет специальный вид. Приведём таблицу видов частных решений у* для различных видов правых частей (см. таб.2).
Неопределённые коэффициенты А, В, С, …, F находят из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного ДУ после подстановки в него у* вместо у.
Постановка задачи: Решить уравнение
.
План решения: 1. Записать соответствующее однородное уравнение;
2. Решив
характеристическое уравнение составить
общее решение соответствующее однородному
уравнению, т.е.
;
3.Для нахождения частного решения у* методом неопределённых коэффициентов воспользоваться таблицей 2;
4. Найти неопределённые коэффициенты, подставляя у* в исходное уравнение;
5.
Записать ответ в виде
.
№15. Найти общее решение уравнения
.
►Характеристическое уравнение k2-4k=0
имеет корни k1=0;
k2=4 тогда
=С1+С2е4х.
Правая часть исходного уравнения
принадлежит к II, где
=4,
s=1. Тогда частное
решение у* будем искать в виде
.
Найдя
,
и подставив в исходное уравнение получим:
8Ах+4В+2А=1-х.
Откуда А=-1/8; В=5/16, тогда частное решение имеет вид:
.
Общее решение:
=С1+С2е4х+
.◄
Для следующих уравнений определить вид частного решения.
№16.
.
►Характеристическое уравнение k2+3k=0
имеет корни k1=0;
k2=-3. Правая часть — многочлен
нулевой степени, относится к виду I.
2., где s=1. Тогда
=Ах1.◄
№17.
.
►Характеристическое уравнение k2-9=0 имеет корни k1=3; k2=-3. Правая часть многочлен второй степени, относится к виду I.1, где s=0. Тогда =Ах2+Вх+С.◄
№18.
.
►Характеристическое уравнение
k4+2k3+k2=0
имеет корни k1,2=0; k3,4=-1.
Правая часть относится к виду II.2.,
где s=2. Тогда
.◄
№19.
.
►Характеристическое уравнение
k2-10k+25=0 имеет корни k1,2=5.
Правая часть относится к III.2.,
где s=2. Тогда
=
.◄
№20.
.
►Характеристическое уравнение k2-3k-4=0 имеет корни k1=4; k2=-1. Правая часть относится к виду VI.1., где s=0. Тогда =Acos5x+Dsin5x.◄
№21.
.
►Характеристическое уравнение k2+2k+5=0
имеет корни
.
Правая часть относится к виду V.2.,
где s=1. Тогда
.◄
№22.
.
►Характеристическое уравнение k3-4k=0
имеет корни k1=0
.
Правая часть состоит из трёх функций,
относящихся к различным видам.
Обозначим
(вид
III.1.),
(вид VI.2.),
(вид I.2.) Тогда
;
;
.
Значит
.◄
Метод вариации произвольных постоянных
Этот метод используют для решения линейных уравнений с переменными коэффициентами и произвольной правой частью, лишь бы было известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Постановка
задачи: Решить уравнение
.
План
решения: 1. Записать соответствующее
однородное уравнение с постоянными
коэффициентами
;
2.
Находим фундаментальную систему решений
у1(х) и у2(х)
и общее решение однородного уравнения
;
3. Общее решение исходного уравнения записать в виде
, (21)
где С1(х) и С2(х) — неизвестные функции.
4. Найти С1(х) и С2(х), т.е. решить систему линейных уравнений относительно производных этих функций:
(22)
Найдя
и интегрируя их, находим и сами функции
С1(х) и С2(х).
5. Записать общее решение неоднородного уравнения.
№23. Решить уравнение
.
►Характеристическое уравнение k2+3k+2=0
имеет корни k1=-2; k2=-1.
Фундаментальная система решений:
,
.
Ищем решение данного неоднородного
уравнения в виде
.
Система (22) в данном случае принимает
вид
.
Решая эту систему получим
,
.
Откуда
;
.
Тогда общее решение уравнения будет иметь вид:
или если слагаемое –е-х присоединить к С1е-х окончательно получаем
.◄