Аудиторное занятие
Решить уравнения:
№62.
при
.
Ответ: y=2x
arctgx.
№63.
.
Ответ:
.
№64 x dy–y dx=y dy, y(-1)=1. Ответ: x=-y(1+lny).
№65. (x+y-2)dx+(x-y+4)dy=0.
Ответ: x2+2xy-y2-4x+8y=C.
№66.
.
Ответ:
.
№67.
.
Ответ:
.
№68. x dy=(x+y) dx. Ответ: y=x(ln|x|+C).
№69.
.
Ответ:
.
№70.
.
Ответ:
.
№71.
,
у(1)=0.
Ответ:
.
Домашнее задание
№72.
.
Ответ:
.
№73. 2x2 dy=(x2
+y2) dx.
Ответ:
.
№74. (x2+y2) dx-2xy dy=0. Ответ: y2=x2-Cx.
№75. (x2 +2xy)dx+xy
dy=0. Ответ:
.
№76.
;
.
Ответ:
.
№77.
.
Ответ:
.
№78.
.
Ответ:
.
№79.
.
Ответ:
.
№80.
.
Ответ:
.
№81.
;
.
Ответ:
.
№82.
.
Указание: подсановка
.
Ответ:
.
№83.
.
Ответ:
.
Дополнительные задания
№84.
.
Ответ:
.
№85.
.
Ответ: y2=4x2lnCx.
№86.
.
Ответ:
.
№87.
,
.
Ответ: y=x
arcsinx.
№88.
.
Ответ:
.
№89.
;
.
Ответ:
.
№90.
,
у(1)=0. Ответ: y=-x
ln|1-lnx|.
№91.
.
Ответ:
.
№92.
,
.
Ответ:
.
№93.
.
Ответ:
.
№94.
.
Ответ:
.
№95.
,
.
Ответ:
.
№96.
,
.
Ответ:
.
№97.
.
Ответ:
.
№98. Найти общий интеграл
дифференциального уравнения:
.
Ответ:
.
№99.
.
Ответ:
.
№101.
.
Указание:
сделать замену
.
Ответ:
.
Занятие 3 Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли
Цели
Знать:
основные формы записи линейного дифференциального уравнения;
методы решения линейных дифференциальных уравнений .
Уметь:
находить решения линейного дифференциального уравнения;
решать задачу Коши для линейного . дифференциального уравнения.
▼Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением, если его правая часть есть линейное выражение относительно искомой функции
.▲
Коэффициенты а и b — либо постоянные, либо функции от х.
Классическая форма линейного уравнения
дифференциальная форма
.
(13)
Постановка задачи 5: Решить уравнение методом Бернулли.
План решения: 1. Убедиться, что данное уравнение линейное;
2. Решение уравнения ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки
,
где u=u(x) и v=v(x) — неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна (но не равна нулю), тогда
;
3.
Подставляя выражения у
и
в исходное уравнение, получаем:
или
;
4. Записать систему условий:
5.
Решить уравнение (1), учитывая, что при
нахождении
v=v(x)
полагаем
;
а затем решить уравнение (2);
6.
Записать общее решение уравнения в виде
.
№9. Решить уравнение
.
►Данное уравнение является линейным, если рассматривать у как функцию от х. Будем искать решение этого уравнения в виде , где u=u(x) и v=v(x) — неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна (но не равна нулю), тогда .
Исходное уравнение принимает вид
или
.
Решим систему условий
Первое уравнение — с разделяющимися переменными:
интегрируя которое получаем:
.
Поскольку в данном случае достаточно найти некоторое решение , то удобно полагать С=0, тогда
.
Подставляя найденную функцию во второе условие, приходим к уравнению
.
В результате почленного интегрирования последнего равенства получаем
.
Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:
.◄
№10. Решить уравнение.
.
►Данное уравнение является линейным, если рассматривать х как функцию от у:
.
Найдём общее решение данного уравнения
в виде x=u(y)v(y).
Имеем
.
Подставляя данные соотношения в исходное уравнение, имеем:
.
Решим систему условий
Первое уравнение — с разделяющимися
переменными. Берём любое частное решение
этого уравнения, например,
.
Подставляем найденную функцию во второе
условие, тогда
.
Откуда
.
Следовательно, общее решение будет:
.◄
Постановка задачи 6: Решить уравнение методом Лагранжа.
План решения: 1. Убедиться, что данное уравнение линейное;
2. Записать соответствующее однородное
линейное уравнение
— это уравнение с разделяющимися
переменными;
3. Разделяя переменные и интегрируя,
получаем общее решение однородного
уравнения
;
4. Определить у и
;
5. Подставить в исходное уравнение у
и
,
где С=С(х). Из полученного
дифференциального уравнения определить
функцию
;
6. Записать общее решение неоднородного уравнения в виде
.
№11. Решить уравнение
.
►Разделим данное уравнение на х:
.
Данное уравнение — линейное. Решим его методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).
Соответствующее однородное линейное
уравнение
— уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные и интегрируя,
получаем:
.
Пользуясь свойствами логарифма, получаем
.
Считая С функцией от х,
подставляем в полученное линейное
уравнение
и
:
,
,
т.е.
Отсюда находим
.
Общее решение исходного уравнения:
.◄
Постановка задачи 7: Решить уравнение
,
.
План решения: 1. Убедиться, что данное уравнение — уравнение Бернулли;
2. Разделить уравнение на
,
т.е. привести уравнение к виду
;
3. С помощью подстановки
уравнение привести к линейному,
относительно z, т.е.
;
4. Решить линейное уравнение удобным способом;
5. Записать общее решение.
При решении уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а решать его либо методом Бернулли либо методом Лагранжа.
№12. Решить уравнение
.
►Данное уравнение есть уравнение Бернулли второго порядка (n=2)
.
С помощью подстановки
приведем уравнение к виду:
.
Решим данное линейное уравнение методом
Лагранжа. Решаем однородное уравнение
,
получаем z=Cx.
Найдём решение неоднородного уравнения
в виде z=C(x),
тогда
,
получаем уравнение с разделяющимися
переменными
.
Разделяя переменные т интегрируя,
получаем
.
Таким образом, общее решение линейного относительно z уравнения имеет вид
.
Заменяем
имеем
.◄
№13. Решить уравнение
.
►Данное уравнение есть уравнение Бернулли второго порядка.
Положим y=u(x)v(x). Тогда будем иметь
.
Решим систему условий
Функцию v(x)
найдём как частное решение уравнения
.
Имеем
.
Тогда
.
Разделяя переменные и интегрируя,
получаем:
,
т.е.
.
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
.◄