19. Построение портфелей при минимизации риска. ПОстановка задачи.

ЦМРК (САРМ) предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфеля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каждого отдельного актива. Следовательно, при построении портфелей и определении общего риска портфеля должны рассматриваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.

Известно, что когда доходы по рискованному активу являются случайными переменными, доходы по портфелю — это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным активам, т.е.

(34)

Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не равно взвешенной по стоимости средней из средних квадратических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации этого среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов составляет:

(35)

где

— среднее квадратическое отклонение портфеля;

и — веса активов 1 и 2 в портфеле;

и — дисперсии доходов по активам 1 и 2;

— корреляция доходов по активам 1 и 2.

Обобщение (35)

. (36)

Или в матричной форме

Каждый элемент — дисперсия в дисперсионно-ковариационной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. . Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ковариации для каждой возможной пары, т.е. 2cov

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который Участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по Различным видам ценных бумаг. Естественно, что целью инвестора является такое вложение денег, которое сохраняет его капитал, а по возможности и наращивает его.

Обозначим через , долю капитала, потраченную на покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу.

20. Модели определения цен основных активов. Модель теории арбитражного ценообразования.

Модель САРМ является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразования, разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ.

САРМ-модель требует выполнения большого числа предположений, включая предположения, сделанные Гарри Марковичем при разработке базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение. В то же время модель APT основана на меньшем числе предположений. Главным предположением теории является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.

Арбитраж — это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Однако, следует понимать, что такая возможность реализуется редко. В самом деле, арбитражер с неограниченной возможностью осуществления «коротких» продаж может немедленно выровнять дисбаланс цен на этих рынках, если профинансирует покупку актива на рынке с низкой ценой за счет его «короткой» продажи на рынке с высокой ценой. Это означает, что возможность безрискового арбитража очень кратковременна.

Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Менее явная возможность арбитража существует в том случае, если удается сконструировать портфель активов, имеющий идентичный с некоторым другим активом поток доходов, но с меньшей ценой, чем этот актив. Данный вид арбитража основан на фундаментальном принципе теории финансов, носящем название закон единой цены. Его суть состоит в том, что если поток доходов, порождаемый данным активом, совпадает с потоком доходов от искусственно созданного пакета других активов, то стоимости актива и (копирующего) его пакета должны совпадать.

Если обнаруживается различие цен актива и пакета активов с одинаковыми потоками доходов, то инвесторы будут осуществлять с ними арбитражные сделки, что в конечном счете приведет к выравниванию цен и восстановлению равновесия. Наличие рыночного механизма, восстанавливающего равновесие, и предполагается теорией арбитражного ценообразования, при этом считается также, что проведение арбитражной сделки не столкнется с непредусмотренным в ней изменением цен.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность инвесторов приводит к их исчезновению. Это — существенное рассуждение, лежащее в основе APT.

В соответствии с APT инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска.

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов. Предположим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в соответствии со следующей однофакторной моделью:

(37)

где — ставка доходности ценной бумаги i;

— значение фактора, котором в данном случае является предсказанный темп роста промышленного производства;

— ожидаемая доходность актива i;

— чувствительность ценной бумаги i к значению фактора ( );

— несистематическая доходность ценной бумаги i.

При формировании арбитражного портфеля следует соблюсти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через обозначить изменение в стоимости ценной бумаги i в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование к арбитражному портфелю может быть записано так;

(38)

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем виде может быть записано так

(39)

Здесь чувствительность i-го фактора на j-ый, a j-число факторов.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (38) и (39) будет иметь нулевую ожидаемую доходность.

Модель APT утверждает, что доходность актива i как случайная величина выражается следующим образом для двухфакторной модели:

(40)

Предположим, что инвестор обладает рисковыми акциями трех выводов Т, I, L и одной безрисковой акцией. Ожидаемые доходности и чувствительности к двум факторам, например к состоянию промышленного производства и уровню инфляции, для каждой из бумаг заданы в табл. 4.

Таблица 4.

Инвестиции	Ожидаемая прибыль, %	Ожидаемое стандартное отклонение, %	Чувствительности
Т	9,5	31,6	1,6	1,2
I	13	50	0,6	1,6
L	21	63,2	2,0	1,1
S	8,5	0	0,8	1,8

Составляем на основании формул (38) и (39) систему уравнений

(41)

Так как в системе четыре неизвестных, а уравнений три, то имеется бесконечное множество решений. Одно из решений выбираем произвольно. Пусть , тогда в результате решения получим

Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: -0,1 • 9,5 + 0,041 • 13 + 0,074 • 21 -0,015 • 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая доходность положительная, то найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций I и L за счет продажи акций Т и S. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций I и L и понизит курсы акций Т и S. В свою очередь это означает, что ожидаемые доходности акций I и L понизятся, а акций Т и S повысятся.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий системе (6.5.4), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной

(42)

Можно считать, что здесь три переменные .

Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидаемой доходностью нужно будет найти большое число решений системы (41) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:

Ожидаемые доходности акций I и L упали, тогда как ожидаемые доходности акций Т и S возросли. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.

Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначальный портфель становится ясным из анализа табл. 5.

Таблица 5

Влияние арбитражного портфеля

	Старый портфель +	Арбитражный портфель =	Новый портфель
Доли
	0,40	-0,10	0,30
V2	0,209	0,041	0,25
	0,276	0,074	0,35
	0,115	-0,015	0,10
Свойства
	13,29%	1,01%	14,3%
,.	25,4%	6,5%	29,1%

Под термином старый портфель мы подразумеваем портфель, который отвечает эффективному портфелю (табл. 6,10). Соединяем его с арбитражным портфелем и получаем новый портфель с более высокой доходностью, который соответствует эффективному портфелю.

Рассмотрим уравнение (42). Если актив не чувствителен к факторам, то и и если существует безрисковый актив, то . Тогда уравнение (42) принимает вид:

(43)

Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель, имеющий единичную чувствительность к первому фактору и нулевую — ко второму.

Такой портфель называется чистым факторным портфелем, так как он: обладает единичной чувствительностью к единственному фактору; не чувствителен ни к какому другому фактору; имеет нулевой нефакторный риск. А именно и . Из уравнения (43) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая , равна т.е. . Тогда уравнение (43) может быть переписано так

(44)

В примере табл. 4 . Это означает, что , так как . Другими словами, портфель, имеющий единичную чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 13,5%, что на 5% больше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.

Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувствительность к первому фактору и единичную чувствительность ко второму фактору, т.е. и . Из уравнения (42) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая равна . Поэтому , а уравнение (44) может быть переписано так:

(45)

Это есть уравнение ценообразования APT для двухфакторной модели.

В примере табл. 4 . Это означает, что , так как . Другими словами, портфель, имеющий нулевую чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и единичную чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 6,5%, что на 2% меньше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.

Основные преимущества APT перед ЦМРК заключаются в том, что она не делает ограничительных предположений о предпочтениях инвестора относительно риска и доходности, относительно функций распределения доходностей ценных бумаг и не предполагает построения «истинного» рыночного портфеля.

Вместе с тем APT не слишком широко используется инвесторами. Основная причина этого заключается в неопределенности относительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценным бумагам.

Теоретические замечания

Процесс принятия любого управленческого решения - это всегда выбор из нескольких рассматриваемых альтернатив: Инвестировать деньги в данный проект или нет?

Продать убыточное отделение компании или инвестировать в его реорганизацию?

Покупать акции компании А или компании В или продавать и те и другие?

Вложить деньги в новое оборудование, чтобы снизить издержки по производству данного продукта, в дополнительную рекламу продукта или в информационную систему, эффективно обрабатывающую клиентскую базу данных, и позволяющую перейти к прямому маркетингу продукта?

Количество подобных вопросов, на которые управленец должен давать ответы каждый день, можно умножать беспредельно. Их разнообразие бесконечно.

Очень часто привлекательность той или иной альтернативы (по сравнению с другими рассматриваемыми альтернативами), зависит от того, каким образом будут развиваться события, от того, какой из предполагаемых «сценариев будущего» реализуется. Поскольку человеку не дано достоверно предвидеть будущее, процесс выбора из нескольких альтернатив в таких условиях называют принятием решения в условиях неопределенности и риска. В случае если лицо, принимающее решение, не имеет никакого представления о вероятностях реализации того или иного сценария будущего, говорят о принятии решения в условиях полной неопреленности. Если, наоборот, лицо, принимающее решение, имеет те или иные объективные оценки вероятностей различных сценариев будущего, говорят о принятии решения в условиях риска.

Таблица выигрышей и потерь.

Первое, что нужно сделать для систематизации процесса выбора из нескольких альтернатив, это оценить выигрыши и потери, к которым приведет выбор каждой альтернативы, при условии реализации каждого из рассматриваемых сценариев будущего. Все выигрыши и потери нужно свести в таблицу (или матрицу) выигрышей и потерь. В этой таблице столько строк, сколько рассматривается альтернатив, и столько столбцов, сколько сценариев будущего, определяющих результат каждой альтернативы, принимается во внимание. Рассмотрим в качестве примера некоторую компанию «Энергия палеолита»- ЭП, которая занимается тем, что покупает земли в потенциально нефтеносных районах, некоторое время ждет, а затем принимает решение: бурить скважину или продать землю. В настоящий момент компания имеет участок земли в нефтеносном районе. Проведенный экономический и геофизический анализ показывает, что при бурении скважины на максимальную глубину, доступную компании при имеющемся оборудовании, в данном районе составят 700 тысяч у.е. Если при этом нефть не будет найдена, эти издержки составят прямые потери компании (пессимистический сценарий). В случае обнаружения нефти, геофизический анализ позволяет оценить типичный объем нефти, который можно извлечь из данной скважины (консервативный сценарий) и максимальный для данных условий объем (оптимистический сценарий). Экономический прогноз будущих цен на нефть на период эксплуатации скважины и переменных эксплуатационных издержек, позволяет оценить свободные финансовые потоки от каждого года за все время эксплуатации скважины. Дисконтируя эти потоки с коэффициентом дисконта равным средневзвешенной стоимости капитала компании (WACC – см, например, Р.Брейли и С.Майерс «Принципы корпоративн финансов») и суммируя их с первоначальной инвестицией на бурение скважины, можно получить чистую приведенную стоимость проекта бурения и эксплуатации скважины при среднем и при максимально возможном запасе нефти (т.е. при консервативном и оптимистическом сценарии). Полученные таким образом оценки выигрышей при консервативном и оптимистическом сценариях приведены в следующей таблице. Там же показана рыночная цена, которую можно получить, если продать этот участок, разумеется, до того, как пробурена скважина. Будем считать, что остаточная цена земли после безрезультатного бурения равна нулю (или что она учтена в сумме постоянных издержек бурения).

Рис. 233

Экономический и геофизический анализ, который привел компанию ЭП к цифрам, приведенным в данной таблице, сродни бизнес плану для любого нового проекта или предприятия. Любой бизнес план включает стратегический и маркетинговый анализ, проект организационной структуры, план управления операциями и человеческими ресурсами, и, наконец, финансовый анализ проекта, дающий его чистую приведенную стоимость (ЧПС) и показывающий инвестиционную привлекательность проекта. Поскольку все цифры, используемые в финансовом анализе, носят прогнозный характер, т.е. соответствуют предполагаемым объемам продаж, ценам и издержкам, число, выражающее чистую приведенную стоимость проекта имеет мало смысла, если не проведен анализ чувствительности результата к изменению прогнозных параметров. Если изменение всех прогнозных параметров проекта в пределах, которые кажутся менеджеру разумными, оставляет ЧПС проекта положительной, проект должен быть принят. В большинстве случаев, прогнозные параметры не являются независимыми. Поэтому разумно рассматривать их взаимосвязанное изменение как «сценарий будущего». Обычно рассматривают пессимистический, консервативный и оптимистический сценарий, что и соответствует трем сценариям в проблеме компании «Энергия палеолита». Хорошо, если во всех трех сценариях ЧПС положительна. В случае «Энергии палеолита» это не так. Нередко и в других представляющих интерес проектах, для пессимистического сценария существует риск потерь.

Итак, серьезный экономический анализ проведен. Получены три цифры выигрышей и потерь, а также цифра выигрыша, в случае отказа от бурения. С этого места и должен начаться наш анализ. Что же все-таки делать: бурить или продать?