5 Расчет переходного процесса в гидромеханической системе с учетом сжимаемости жидкости

Для упрощения математической модели линеаризуется нелинейная зависимость суммарных потерь давления в напорной и сливной гидролиниях от скорости выходного элемента гидродвигателя.

Суммарные потери давления в гидросистеме определяются так:

(23)

По этой зависимости строится график (рис. 6)

Линеаризация осуществляется в точке с координатой, соответствующей установившейся скорости выходного элемента гидродвигателя. Угловой коэффициент линеаризованной характеристики:

; (24)

- приведенный суммарный коэффициент сопротивления трубопровода

(25)

.

Линеаризация расходной характеристики дросселя проводится разложением исходной функции в ряд Тейлора с отбрасыванием величин в степени выше первой. В результате исходная характеристика дросселя примет вид:

(26)

Уравнение движения (14) решается относительно р₁:

; (14)

;

Рисунок 6 – График зависимости суммарных потерь давления от скорости выходного элемента гидродвигателя

.

С учетом линеаризации, соотношения (24):

(27)

Найдем первую производную давления по времени:

(28)

Уравнение расхода с учетом сжимаемости жидкости:

, (29)

где , ;

- суммарный объем напорного трубопровода, ;

;

;

- приведенный модуль упругости системы «жидкость – напорный трубопровод», Па;

, (30)

где - средний радиус напорного трубопровода, м; ;

;

- модуль упругости материала стенки трубопровода, Па;

Па;

Па;

- толщина стенки трубопровода, м;

;

- коэффициент Пуассона;

;

- адиабатический модуль упругости жидкости, Па;

- адиабатическая скорость звука в жидкости, ;

,

Подставляем все значения в выражение (30):

.

Подставим (27) в (26), а полученное выражение и выражение (28) подставим в (29):

Приведем полученное уравнение к виду неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью:

, (30)

где , , :

Получили уравнение:

Решением этого уравнения будет:

,

где - общее решение дифференциального уравнения второго порядка с правой частью;

- общее решение однородного уравнения

; (31)

- частное решение неоднородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения (30) при и определяется зависимостью

;

Для решения общего однородного уравнения (31) необходимо найти корни характеристического уравнения:

,

;

.

Т.к. k₁ и k₂ – комплексно-сопряженные числа, , то общее решение будет иметь вид:

, ;

Для определения коэффициентов с₁ и с₂ необходимо продифференцировать по времени величину у и использовать граничные условия вида у=0, при :

;

При :

;

.

Тогда:

Строим график переходного процесса в гидромеханической системе при ступенчатом изменении расхода сжимаемой жидкости (рис. 7). Этот график представляет собой колебательный затухающий процесс с учетом сжимаемости рабочей жидкости и демпфированием колебаний.

Время переходного процесса определяем по графику (рис. 7) – время достижения установившегося значения скорости выходного элемента гидродвигателя. На графике это время фиксируется в момент вхождения кривой в пятипроцентное отклонение от установившегося значения скорости:

t	0,4	0,8	1,2	1,6	2	2,4	2,8	3,2	3,6	4
V	1,88	0,65	-1,12	-1,14	0	0,05	0,04	0,03	0,03	0,03

Рисунок 7 – График переходного процесса в гидромеханической системе при ступенчатом изменении расхода сжимаемой жидкости

Время переходного процесса в гидромеханической системе с учетом сжимаемости жидкости больше, чем время переходного процесса в гидромеханической системе без учета сжимаемости жидкости, вследствие того, что мы учитываем демпфирование колебаний и объем сжимаемой жидкости.