4. Определение оптимального объема выпуска продукции

Фирма имеет два филиала, затраты на производство в которых описывается функциями

соответственно, где x и у - объемы производимой продукции.

Общий спрос на товар фирмы определяется ценой р за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции z=х+у, и определяется функцией z= 100 • (N+ п) - 2р , где п - номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число).

Тогда прибыль фирмы задается функцией

Требуется найти:

1) оптимальный объем выпуска продукции для производителя;

2) оптимальную цену;

3) распределение производимой продукции по филиалам.

Алгоритм выполнения задачи.

1. Решить систему уравнение :

И найти цену товара p как функцию от объемов выпускаемой продукции.

2. Подставить полученное выражение p в функцию прибыли Q(x,y).

3. Найти экстремум функции Q(x,y). Для этого:

а) вычислить частные производные первого порядка функции Q(x,y);

б) приравнять частные производные к нулю и найти стационарные точки, т.е. точки, подозрительные на экстремум;

в) определить характер экстремума (если он существует). Для этого вычислить частные производные второго порядка и определить знаки величины А и выражения ∆=A^.C-B².

4. Найти распределение производства товаров по филиалам, т.е. х₀ и у₀, и оптимальную цену p. Сделать вывод: фирма в первом филиале должна производить х₀ единиц продукции, во втором - у₀ единиц, а продавать ее по цене p (ден. ед.).

5. Найти общий объем продукции: z=x₀+y₀ единиц.

Решение.

1. Решим систему уравнений

1600-17р-х-у=0

1600-х-у=17р

2. Подставить полученное выражение p в функцию прибыли Q(x,y).

Q(x,y)= ^.(x+y) –[0.17x²-17x+900+0.09y²+9y+1700]= -0.17x²+17x-900-0.09y²-9y-1700=

=

3. Найдем экстремум функции Q(x,y). Для этого:

а) вычислим частные производные первого порядка функции Q(x,y):

б) приравняем частные производные к нулю и найдем стационарные точки, т.е. точки, подозрительные на экстремум:

0.5812у-49.14=0

у=84.55

-1.34х-84.55+113=0

х=21.23

в) определим характер экстремума (если он существует). Для этого вычислим частные производные второго порядка и определим знаки величины А и выражения ∆=A^.C-B².

А=

C=

B=

∆=AC-B²=(-1.34)²-(-1)²=0.7956>0

Так как ∆>0, то в точке с координатами (21.23;84.55) функция имеет экстремум. Поскольку А=-1.34<0, то (21.23;84.55)- точка максимума.

4. Найдем распределение производства товаров по филиалам, т.е. х₀ и у₀, и оптимальную цену p. Сделаем вывод: фирма в первом филиале должна производить х₀ единиц продукции, во втором - у₀ единиц, а продавать ее по цене p (ден. ед.).

Р= = 77.11

Итак, фирма в первом филиале должна производить 21.23 единицы продукции, во втором - 84.55 единиц, а продавать ее по цене 77.11 (ден.ед.).

5. Найдем общий объем продукции: z=x₀+y₀ единиц.

z=21.23+84.55=105.78

Вывод: я убедилась, что используя функцию прибыли и частные производные, можно определять оптимальный объем выпуска продукции.

5А. Применение дифференциальных уравнений в модели формирования

равновесной цены

В задании используются следующие обозначения:

• а₁,b₁,с₁- коэффициенты функции спроса D(р) = а₁-b₁р- с₁р' ;

• а₂ , b₂ , с₂ - коэффициенты функции предложения

• р₀- начальное значение функции цены. Значения этих величин приведены в соответствующей таблице:

Таблица

a1	100
b1	3
c1	-4
a2	100
b2	2
c2	1
P0	10

Алгоритм выполнения задачи.

1. Взять из таблицы коэффициенты а₁, b₁, c₁ и составить функцию спроса D(p)= а₁- pb₁-p^/ c₁. Для коэффициентов а₂, b₂, c₂ составить функцию предложения S(p)= а₂+ pb₂+p^/ c₂. Записать дифференциальное уравнение, используя равенство S(p)= D(p) для заданных функций спроса и предложения.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и зависимость равновесной цены р от начального значения р₀.

3. Найти Провести исследование изменения тенденции равновесной цены при (т.е. указать, будет ли цена стабилизироваться или будет инфляция).

4. Построить интегральную кривую p(t) для заданного начального значения р₀; указать пунктиром горизонтальную асимптоту.

Решение.

1. Взять из таблицы коэффициенты а₁, b₁, c₁ и составить функцию спроса D(p)= а₁- pb₁-p^/ c₁. Для коэффициентов а₂, b₂, c₂ составить функцию предложения S(p)= а₂+ pb₂+p^/ c₂. Записать дифференциальное уравнение, используя равенство S(p)= D(p) для заданных функций спроса и предложения.

D(p)= 100- 3p+4p^/

S(p)= 100+ 2p+p^/

S(p)-D(p)=0

100+ 2p+p^/ -100+ 3p-4p^/=0

-3 p^/+5р=0

2.Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и зависимость равновесной цены р от начального значения р₀.

p=

Подставим в полученное равенство р=10.

10=

10=

лучим частное решение, характеризующее зависимость цены р от времени t:

Таким образов, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с полученной формулой.

3.Найдем Проведем исследование изменения тенденции равновесной цены при (т.е. укажем, будет ли цена стабилизироваться или будет инфляция).

Так как предел цены р при равен , то равновесная цена растет и имеет место инфляция .

4. Построить интегральную кривую p(t) для заданного начального значения р₀; указать пунктиром горизонтальную асимптоту.

Вывод: мы поняли, что применяя дифференциальные уравнения первого порядка в модели формирования равновесной цены, мы можем определить тенденцию ее изменения.

Алгоритм выполнения задачи.

1. Найти значение р= , при котором функция g(p)= , определяющая наибольшее возможное значение среднедушевого потребления, достигает максимума. Для этого:

• Заданное подставить в функцию g(p), продифференцировать по р и исследовать знаки производной;

• Если происходит сменяя знака в критической точке, тогда функция имеет экстремум.

2. Составить модель экономического роста для заданных параметров А и производственной функции Кобба-Дугласа,, производственных показателей и найденного оптимального значения нормы накопления р.

3. из уравнения определить равновесный уровень фондовооруженности к^*.

4. Решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

5. Найти зависимость k(t) от начального значения к₀.

6. Провести исследование и построить интегральные кривые к₁(t), k₂(t), k₃(t) для заданных в таблице начальных значений к₀; описать типы переходных режимов.

Решение.

д

-0.1к+0.7к^0.5=0

к-7к^0.5=0

k^*=49

5. Укажем тип переходных режимов для каждого заданного начального значения k₀

7.Значение для определения точек перегиба.

=12.25

8.Найдем критические точки k^//(t).

9. Для кривых не имеющих точек перегиба, укажем направление выпуклости графика:

10. Функции k₁, k₂, k₃ имеют горизонтальную асимптоту.

11. Запишем уравнение асимптоты.

12. Для каждой кривой определим тип переходного режима

13. Построение интегральных кривых.

График функций имеет вид:

Вывод: я узнала, что используя функцию Кобба-Дугласа и модель Солоу, можно определять равновесный уровень фондовооруженности в односекторной модели экономического роста.