2. Применение определенного интеграла для решения экономических

задач

Найти объем продукции, произведенной за период [0;Т], если функция Кобба- Дугласа имеет вид , где α=n∙N,ß=n,γ= ,T=N, где n- номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число).

Алгоритм решения задачи:

1. Записать функцию Кобба-Дугласа и составьте определенный интеграл , описывающий объем произведенной продукции q за 9 лет.

2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям, сделав выбор компонент формулы:

u=153+17t, dv= .

3. Записать значение определенного интеграла.

Решение.

1. Составим определенный интеграл q= , который при заданной функции Кобба-Дугласа по формуле

описывает объем продукции, выпущенной за период T=9 лет.

2. Для вычисления интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям

=

+5508=-2754+5508=2754

3.Таким образом, объем произведенной за 9 лет продукции составит 2754 единицы.

Вывод: я поняла, что используя функцию Кобба-Дугласа, можно вычислять объем произведенной продукции за указанный период.

3. Применение систем дифференциальных уравнений для описания

процесса ценообразования

Пусть процесс ценообразования описывается следующими уравнениями:

где х₁ , х₂- цены на товары.

В начальный момент времени цены на товары составляют:

x₁(0) = N условных единиц. ; х₂(0) =(N + 2) условных единиц. ;

где п - номер по списку, N - номер группы (однозначное или двузначное число).

Определить зависимость цен на товары от времени в будущем.

Алгоритм выполнения задачи.

Запишем неоднородную систему дифференциальных уравнений с заданными коэффициентами и начальными условиями.

I.Найдем общее решение соответствующей однородной системы, положив f₁=0 и f₂=0. Для этого:

а) составим характеристическое уравнение:

=0

и найдем его корни и - собственные значения матрицы А;

б) Подставляя каждый найденный корень в систему

решаем ее и находим собственные векторы матрицы А;

в) запишем общее решение однородной системы Х₀₀ в виде:

Х₀₀=С₁

где -любое нетривиальное решение системы , соответствующее , а С_j- произвольные постоянные.

II. Найдем частное решение неоднородной системы:

а) представим частное решение, например, в виде х₁=А₁, х₂=А₂;

б) Подставим эти выражения в исходную систему и найдем частное решение неоднородной системы:

III. Запишем общее решение неоднородной системы в виде:

Х_он=

IV. Запишем решение задачи Коши:

а) для нахождения С₁ и С₂ подставим начальные условия в полученное общее решение;

б) подставим найденные значения С₁ и С₂ и запишем решение задачи Коши в виде:

;

в) запишем зависимость цен от времени:

.

Решение.

1. Найдем общее решение соответствующей однородной системы

а) составим характеристическое уравнение det(A- E)=0

б) подставим

Предположим а₂=1, тогда а₁=1.

Подставим

Предположим а₂=1, тогда а₁=0.5.

в) запишем общее решение неоднородной системы

2. Найдем частное решение неоднородной системы

а) Представим частное решение в виде х₁=А₁, х₂=А₂

б) Подставим эти выражения в исходную систему и найдем частное решение неоднородной системы:

6А₂-25=0

А₂=4.167

А₁=17-4.167=12.833

3. Запишем общее решение неоднородной системы:

IV. Запишем решение задачи Коши:

а) для нахождения С₁ и С₂ подставим начальные условия в полученное общее решение;

-0.5С₂-12.833-4.167=-2

С₂=21.332

С₁+21.332+4.167=11

С₁=-14.499

б) подставим найденные значения С₁ и С₂ и запишем решение задачи Коши:

Х(t)= -14.499

в) таким образом, зависимость цен от времени описывается следующими функциями:

Вывод: я узнала, что применяя системы дифференциальных уравнений можно описывать процесс ценообразования.