Химфак. 2-й курс. Вопросы к экзамену IV-го семестра по курсу высшей математике. Вопросы по материалу IV-го семестра Ряды

Понятие числовой последовательности и числового ряда Общий член ряда. Способы задания числовой последовательности и ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда.

Классификация числовых рядов: знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Действия над числовыми рядами.

Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности, признак Даламбера и радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Сходимость обобщенных гармонических рядов.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница условной сходимости. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Теорема Абеля о сумме условно сходящегося ряда.

Функциональная последовательность и способы ее задания. Определение функционального ряда. Поточечная сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Сумма функционального ряда.

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса (с док-вом).

Теорема о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов (без док-ва).

Степенные ряды. Лемма Абеля. Теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда.

Теоремы о вычислении радиуса сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Теорема о ряде Тейлора (без док-ва). Основные разложения в ряд Тейлора. Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, вычислений пределов, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Ортонормированные системы функций: sin nx,cos nx: определение скалярного произведения функций, ортогональности и нормы.

Тригонометрические многочлены и ряды. Ряд Фурье функции на интервале [-;] и ее периодическое продолжение. Теорема о единственности коэффициентов ряда Фурье для произвольной функции на интервале [-;].

Теоремы о поточечной, равномерной сходимости ряда Фурье и об оценке коэффициентов ряда Фурье. Коэффициенты для четной и нечетной функции.

Понятие о сходимости в среднем.

Разложение в ряд Фурье на произвольном интервале.

Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье.

Комплексная форма интеграла Фурье.

Формулы преобразования Фурье и обращения преобразования Фурье.