Семестр 1

1. Виды средних величин и их расчеты

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-эко­номических явлений.

Требования, предъявляемые к средним величинам:

–   средняя должна характеризовать качественно однородную совокупность;

–   средние должны исчисляться по данным большого числа единиц, составляющих совокупность, то есть отображать массовые социально-экономические явления.

Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую оценку результатам расчетов средних показателей.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у единиц совокупности.

В экономических исследованиях применяются две категории средних: степенные средние и структурные средние.

Таблица 3.1

Виды средних величин

х – индивидуальное значение признака,

n – число значений признака.

К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая. Средняя обозначается через  . Черта вверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений. Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквой f.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое число раз.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (то есть М=хf).

Средняя гармоническая простая исчисляется в тех случаях, когда веса одинаковы, то есть равны между собой.

Средняя геометрическая простая используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики.

Средняя квадратическая используется для расчетов среднего квадратического отклонения () при изучении темы «Показатели вариации».

Для вычисления средней в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, то есть по средней арифметической взвешенной  .

Для вычисления средней в интервальных рядах нужно перейти к дискретному ряду, то есть по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением и вычислить по формуле

.

Для того чтобы проверить правильность выбора формул, надо учитывать:

–  среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значений признака совокупности;

–  среднее значение ближе к тому значению признака, которому соответствует большая частота.

Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами, полученными расчетным путем, в то же время эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или иметь одинаковое значение для совокупности с различным строением.

Структурные средние используются для более полной характеристики совокупности. К ним относятся:

Мода – это варианта с наибольшей частотой (М₀);

Медиана – это варианта, делящая совокупность на две равные части (М_е).

Квартили – это варианта, делящая совокупность на четыре равные части;

Децили – это варианта, делящая совокупность на десять равных частей.

Выбор вида средней величины в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся данных.

Для дискретного ранжированного ряда значения признака расположены в порядке возрастания или убывания, место медианы в ряду определяют по формуле

,

где   n – число членов ряда.

Если же ряд распределения состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.

В интервальном ряду мода определяется по формуле

,

где   хм₀ – нижняя граница модального интервала;

fм₀ – частота модального интервала;

f(м_0-1) – частота интервала, предшествующего модальному;

f(м₀₊₁) – частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном ряду распределения для нахождения медианы сначала указывают интервал, в котором она находится.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы вычисляется по формуле

,

где   n – сумма частот ряда;

Хме – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала;

S(mе-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

fmе – частота медианного интервала.

Мода, медиана, средняя для дискретного ряда распределения и для интервального ряда называются показателями центра распределения, т.к. они используются для анализа вариационных рядов.

2. Ряды динамики. Построение характеристик динамических рядов. Прогнозирование в рядах динамики на основе тренда

Динамическим рядом (рядом динамики) называются ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке и описывающих процесс развития, движения социально-экономических явлений и процессов во времени.

Относящиеся к отдельным периодам или датам значения признака – это уровни динамического ряда (y_i), периоды или даты, за которые представлены значения показателя – это показатели времени (t_i).

Принципы построения цепных и базисных показателей динамики:

1.    Базисные показатели: каждый уровень динамического ряда сравнивается с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу сравнения.

2.    Цепные показатели: каждый уровень динамического ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим, такое сравнение называют иногда сравнением с переменной базой.

Абсолютный прирост:

                                (26)

показывает в натуральных измерителях отличие текущего уровня от предшествующего или базисного уровня.

Коэффициент роста и темп роста

                                  (27)

показывает, во сколько раз отличается текущий уровень от предшествующего уровня либо базисного.

T_i= k_i100%                                     (28)

Темп прироста

                 (29)

или

T_i=(k_i-1) 100%=T_i – 100%                        (30)

показывает на сколько процентов изменился текущий уровень по сравнению с предшествующим уровнем либо базисным.

Абсолютное значение 1 % прироста (снижения) имеет смысл только для цепных характеристик динамических рядов:

_i(цепн)

A_i=                                = 0,01 y_i-1           (31)

T_i(цепн)(%)

показывает в натуральных измерителях, сколько приходится на 1% прироста.

Средние величины (за исключением среднего уровня ряда) в рядах динамики рассчитываются на основе соответствующих цепных показателей и показывают общую характеристику изменений в ряду динамики:

Средний абсолютный прирост  .               (32)

Средний коэффициент роста, средний темп роста

                                   (33)

Средний темп прироста

.                                  (34)

Средний уровень ряда в зависимости от вида ряда (моментный или интервальный) и вида временных промежутков (равноотстоящие или не равноотстоящие уровни) рассчитывается по разным формулам.

Коэффициент опережения:                              (35)

сравнивает различные явления во времени.

Построение тренда в рядах динамики.

 – линейный тренд;

 – параболический тренд,

где a – начальный уровень тренда в момент начала отсчета t,

b – среднегодовой абсолютный темп прироста,

 – ускорение абсолютного изменения признака.

Система нормальных уравнений для линейного тренда имеет вид:

                               (36)

Значения условных показателей времени задаются с таким условием, чтобы сумма их нечётных степеней равнялась 0. Оценка тренда производится после расчёта параметров тренда, теоретических значений уровней ряда и относительной ошибки тренда:

,                                     (37)

где   – среднее квадратическое отклонение теоретических уровней от эмпирических ( ),

 – средний уровень ряда,

y_i – фактические уровни ряда,

 – расчётные значения уровней,

n – число уровней ряда,

m – число параметров тренда.

Точечный прогноз уровня можно построить, подставив в полученное уравнение тренда значение условного показателя времени, соответствующее прогнозируемому уровню.

3. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ (КОЛЕБЛЕМОСТИ) ПРИЗНАКА

3.1. Абсолютные показатели вариации

Вариация – это изменение значения признака у отдельных единиц совокупности.

Вариация обусловлена действием различных факторов на развитие отдельных единиц совокупности. Чем более разнообразно условие, тем больше его вариация.

Наиболее простой характеристикой вариации признака является размах вариации (R). Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности:

R=x_max – x_min,

где   x_max – наибольшее значение признака;

x_min – наименьшее значение признака.

Размах вариации не отражает отклонений всех значений признака – это его недостаток. Он исчисляется при контроле качества продукции для определения систематически действующих причин на производственный процесс.

Для измерения отклонения каждой варианты от средней величины в ряду распределения или в группировке применяется среднее линейное отклонение (d).

Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных (ранжировочного ряда)   (простое);

б) для вариационного интервального ряда:   (взве­шенное).

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признаков совокупности.

Средние линейные отклонения применяются на практике для анализа состава рабочих, ритмичности производства, равномерности поставок материалов и т.д.

Наибольшее применение в практике статистических работ находит показатель – дисперсия признака или средний квадрат отклонений, или квадрат среднего квадратического отклонения ( ). Дисперсия –   – определяется по формулам:

а) для ранжировочного ряда (несгруппировочных данных):  (простая);

б) для интервального ряда:   (взвешенная).

Корень квадратный из дисперсии   представляет среднее квадратическое отклонение ( ):  ; или

а) для ранжировочного ряда:   (простое);

б) для вариационного ряда:   (взвешенное).

Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз в среднем колеблется величина признака совокупности. В зарубежной литературе оно называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая.

Дисперсия является оценкой одноименного показателя теории вероятности. Сопоставление линейных или среднеквадратических отклонений по признакам совокупности дает возможность определить статистическую однородность совокупности: чем меньше размер, тем совокупность более однородна.

3.2. Относительные показатели вариации

Для сравнения вариации в разных совокупностях рассчитываются относительные показатели вариации. К ним относятся коэффициент вариации, коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение).

Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому, рассчитывается в процентах:

.

Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:

–   17% – абсолютно однородная;

–  17–33%% – достаточно однородная;

–  35–40%% – недостаточно однородная;

–  40–60%% – это говорит о большой колеблемости совокупности.

Коэффициент осцилляции – это отношение размаха вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.  .

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины.  .

3.3. Виды дисперсии

В зависимости от того, как представлена статистическая совокупность одним элементом или несколькими, различают следующие виды дисперсии:

–  общая дисперсия;

–  групповая дисперсия (внутригрупповая);

–  средняя из групповых дисперсия;

–  межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия оценивает колеблемость признака всех единиц совокупности без исключения:  .

 – средняя в целом по совокупности;

f – частота в целом по совокупности.

Она отражает влияние всех причин и факторов, которые действуют на вариацию.

Для характеристики вариации признаков по группе рассчитывают групповую дисперсию. Она рассчитывает колеблемость признака в каждой отдельной группе и представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от средней по каждой отдельно взятой группе:  .

 – показывает, что это групповая дисперсия. Групповая дисперсия отражает колеблемость, которая возникает только за счет причин, действующих внутри группы.

Средняя из групповых дисперсия – это среднеарифметическая взвешенная из групповых дисперсий и определяется по формуле

,

где     – средняя из групповых дисперсия, fi – объем итоговой группы или число единиц в этой группе. Она характеризует случайную вариацию в каждой группе.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует вариацию результативного признака под влиянием только одного фактора, положенного в равновесие группировки

,

где     – групповые средние (средняя по отдельным группам),   – общая средняя, fi – численность отдельной группы.

Отношение межгрупповой дисперсии к общей дает коэффициент детерминации:  . Он показывает, какая часть вариации результативного признака обусловлена факторными признаками, положенными в основание группировки.   нам дает корреляционное эмпирическое отношение, которое показывает тесноту связи между результатом и факторным группировочным признаком.

Если   – связь между факторами полная, т.к. вариация результативного признака обусловлена факторным группировочным признаком.

Если   – связь отсутствует.

Между общей дисперсией, средней из групповых дисперсий и межгрупповых дисперсий существует соотношение, которое определяет правило сложения дисперсий:   – это правило сложения дисперсий имеет большое значение и позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов.

Практическое применение правила: используется для взаимопроверки правильности расчета обшей дисперсии, на основании этого правила строятся показатели тесноты связи.

4. Расчёт экономических индексов в статистике

В статистике под индексом понимают относительный показатель, который выражает соотношение величин какого-либо явления во времени, пространстве, сравнивает фактические данные с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом и т.д.)

Основным элементом индексного соотношения является индексируемая величина.

Основные обозначения и символы:

p –  цена (стоимость) единицы товара (продукции);

q –  количество (объём) какого-либо продукта (товара) в натуральном выражении;

z –  себестоимость единицы продукции;

t –  затраты времени на выработку единицы продукции;

pq –      стоимость продукции (товарооборот);

zq –       затраты (издержки) на производство продукции;

tq –       затраты времени (трудоёмкость) на производство продукции и т.д.

индивидуальный индекс физического объёма –  ;

индивидуальный индекс цены –  ;        

индивидуальный индекс себестоимости –  ;

индивидуальный индекс стоимости (товарооборота) –  ;

индивидуальный индекс издержек (затрат) –   и т.д.,

где   – значения соответствующего показателя в отчётном (текущем) периоде,   – значения этих показателей в базисном периоде.

Определение: Общий индекс в статистике – относительный показатель, служащий для сравнения сложных явлений и включающий в себя индексируемую величину, состояния которой сравниваются, и вес – показатель, определяющий значимость каждой индексируемой величины.

Общие индексы строятся для количественных и качественных показателей. Кроме этого по способу расчёта показатели делятся на агрегатные индексы и средние из индивидуальных.

Определение: Агрегатным индексом называется индекс, у которого числитель и знаменатель представляют собой набор непосредственно несоизмеримых и неподдающихся непосредственному суммированию элементов: сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая (вес индекса) – остаётся неизменной в числителе и знаменателе, служит для соизмерения индексируемых величин.

Типичным индексом количественного показателя является индекс физического объёма. Для вычисления этого индекса, являющегося сложным индексом, введём коэффициенты соизмерения, полученные умножением объёма каждого вида продукции (q) на соответствующую цену (p) – pq; себестоимость(z) – zq; затраты времени(t) – tq и т д.

Тогда общий индекс физического объёма продукции (товара):

.                                 (38)

Этот индекс характеризует процесс реализации, а

                                               (39)

характеризует процесс производства продукции.

Общий индекс стоимости продукции (общий индекс товарооборота):

.                                    (40)

Для расчёта общего индекса как среднего из индивидуальных воспользуемся индивидуальным индексом физического объёма, из которого получим значения недостающих элементов. Так например, если по имеющейся информации нет значения  , а имеются значения   и  , то  , и тогда:

                                   (41)

и т.д.

Таблица 5

Основные формулы исчисления общих индексов

Окончание таблицы 5

И так далее.

.

Общие индексы средних величин

Изучение совместного действия факторов на изменение среднего значения качественного признака и изменение структуры явления решается построением системы взаимосвязанных индексов:

1.      Индекс переменного состава               (42)

показывает изменение среднего значения качественного показателя (средней цены) в текущем периоде по сравнению с базисным или предыдущим.

2.        Индекс постоянного состава                        (43)

показывает изменение среднего значения качественного показателя (средней цены) в зависимости от изменения этого показателя у отдельных единиц совокупности.

3.      Индекс структурных сдвигов                             (44)

показывает изменение среднего значения качественного показателя в зависимости от изменения структурных пропорций.

3. Статистика заработной платы

Заработная плата – показатель, который входит составляющей при расчётах себестоимости, издержек производства. Основным показателем, характеризующим заработную плату, является средняя её величина как для отдельных групп работников, так и для предприятия в целом.

Динамика средней заработной платы анализируется с применением индексного метода, который может быть представлен следующей системой показателей: , где ФЗП₁,ФЗП₀ – фонды начисленной заработной платы отдельных категорий работников в отчётном и базисном периодах соответственно, Т₁ Т₀ – численность этих же категорий работников в отчётном и базисном периодах; , где   – средняя заработная плата по категориям персонала в отчётном и базисном периодах;  . Кроме указанной системы индексов возможно применение индексного метода в оценке запланированных, фактических и т.д. показателей, характеризующих плановую, сверхплановую и фактическую экономию, причём анализировать можно как отдельные показатели по группам работников, так и по всему предприятию в целом:

, каждый из указанных индивидуальных индексов характеризует отдельную категорию работников. Первый индекс показывает, как фактически изменилась заработная плата у одной из категорий работников в относительных показателях, а разность между числителем и знаменателем дроби представляет собой фактическое изменение в натуральных измерителях заработной платы этой категории. Второй индекс показывает запланированное изменение заработной платы, а третий – сверхплановое изменение. При анализе изменений фонда заработной платы (ФЗП) за счёт изменений заработной платы у отдельных категорий работников, следует рассматривать соответствующие индексы:

 – фактическое изменение (фактическую экономию или перерасход) ФЗП за счёт изменения заработной платы у отдельных категорий работников (разность между числителем и знаменателем дроби показывает фактическое изменение ФЗП за счёт изменений заработной платы в натуральных измерителях);

 – плановое изменение (плановую экономию или перерасход) ФЗП;

 – сверхплановое изменение (сверхплановую экономию или перерасход) ФЗП.

Пример решения и оформления задачи

Таблица 14.1

Данные о заработной плате работников предприятия

1.        Как изменилась заработная плата по каждому виду персонала (в абсолютных и относительных показателях)?

2.        Рассчитать сверхплановую, плановую и фактическую экономию или перерасход ФЗП.

3.        Сделайте выводы по результатам выполненной работы.

Пример решения и оформления см. в таблице 14.2

Контрольные вопросы

1.        По каким формулам производились расчёты для п.1 задачи?

2.        По каким формулам производились расчёты в п.2 задачи?

3.        Какие выводы сделали по результатам выполненной работы?

Пример оформления и решения задачи

Таблица 14.2