Характеристики случайной величины
Выборочное среднее
Мода – наиболее вероятное значение случайной величины
где
– начало модального интервала; h –
величина интервала;
–частота, соответствующая модальному
интервалу;
– предмодальная частота;
– послемодальная частота.
Медиана
В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:
Медианным является интервал 8 – 33.33, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера.
,
где
– частота медианного интервала;
– накопленная частота до медианного
интервала
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Среднеквадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
Проверка гипотез о виде распределения
Статистика Пирсона измеряет разницу
между эмпирическим и теоретическим
распределениями, то есть, чем больше ее
наблюдаемое значение
,
тем сильнее довод против основной
гипотезы.
Поэтому критическая область для этой
статистики всегда правосторонняя:
[
;+∞).
Её граница
находится по таблице распределения
«хи-квадрат», используя значения k (число
интервалов), r (количество параметров,
участвующих в оценивании). Например,
для нормального распределения количество
параметров 2:
,
следовательно, r=2.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
Для вычисления вероятностей
применим формулу и таблицу функции
Лапласа
Группы |
Количество, ni |
|
Ожидаемая частота,
|
Слагаемые статистики Пирсона |
8 - 33.33 |
150 |
0,23522 |
47,044 |
225,320 |
33.33 - 58.66 |
0 |
0,26651 |
53,302 |
53,302 |
58.66 - 83.99 |
7 |
0,19182 |
38,364 |
25,641 |
83.99 - 109.32 |
39 |
0,08697 |
17,394 |
26,838 |
109.32 - 134.65 |
2 |
0,02497 |
4,994 |
1,795 |
134.65 - 159.98 |
0 |
0,00452 |
0,904 |
0,904 |
159.98 - 185.31 |
0 |
0,00052 |
0,104 |
0,104 |
185.31 - 210.64 |
0 |
0,00003 |
0,006 |
0,006 |
210.64 - 235.97 |
2 |
0,00001 |
0,002 |
1996,002 |
Сумма |
200 |
|
|
2329,912 |
,
Границу находим по таблице распределения «хи-квадрат», используя значения k=9, r=2.
= 12.59159;
Наблюдаемое значение статистики Пирсона
попадает в критическую область:
,
поэтому есть основания отвергать
основную гипотезу. Данные выборки
распределены не по
нормальному закону.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.
Для вычисления вероятностей применим следующую формулу:
,
где;
.
Группы |
Количество, ni |
,
|
Ожидаемая частота, |
Слагаемые статистики Пирсона |
8 - 33.33 |
150 |
0 |
0 |
0 |
33.33 - 58.66 |
0 |
0 |
0 |
0 |
58.66 - 83.99 |
7 |
0 |
0 |
0 |
83.99 - 109.32 |
39 |
0 |
0 |
0 |
109.32 - 134.65 |
2 |
0 |
0 |
0 |
134.65 - 159.98 |
0 |
0 |
0 |
0 |
159.98 - 185.31 |
0 |
0 |
0 |
0 |
185.31 - 210.64 |
0 |
0 |
0 |
0 |
210.64 - 235.97 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Сумма |
200 |
|
|
0 |
Границу находим по таблице распределения «хи-квадрат», используя значения k=9, r=1.
= 23.58935;
Наблюдаемое значение статистики Пирсона
не попадает в критическую область:
,
поэтому нет оснований отвергать основную
гипотезу. Справедливо предположение о
том, что данные выборки имеют
распределение Пуассона.
Проверим гипотезу о показательном распределении генеральной совокупности.
Для вычисления вероятностей применим следующую формулу:
, где;
.
Группы |
Количество, ni |
,
|
Ожидаемая частота, |
Слагаемые статистики Пирсона |
8 - 33.33 |
150 |
0,384096327 |
76,81926531 |
69,71454 |
33.33 - 58.66 |
0 |
0,203902792 |
40,78055844 |
40,78056 |
58.66 - 83.99 |
7 |
0,108244588 |
21,64891763 |
9,91231 |
83.99 - 109.32 |
39 |
0,057463121 |
11,49262424 |
65,83838 |
109.32 - 134.65 |
2 |
0,030505084 |
6,101016881 |
2,756645 |
134.65 - 159.98 |
0 |
0,016194042 |
3,238808318 |
3,238808 |
159.98 - 185.31 |
0 |
0,008596829 |
1,719365726 |
1,719366 |
185.31 - 210.64 |
0 |
0,004563744 |
0,912748829 |
0,912749 |
210.64 - 235.97 |
2 |
0,002424781 |
0,48495628 |
4,733122 |
Сумма |
200 |
|
|
199,6065 |
Границу находим по таблице распределения «хи-квадрат», используя значения k=9, r=1
= 12.59159;
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: , поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по показательному закону.