- •Завьялов в. А. Основы теории управления
- •Лекция № 1 Основные понятия и определения теории автоматического управления
- •Классификация сау. Примеры реальных сау
- •Лекция № 3 Математические модели и характеристики сау и ее элементов
- •Лекция № 4 Аналитическое описание реальных элементов сау
- •Постановка задач анализа и синтеза сау
- •Лекция № 5 Комплексные числа и функции в исследовании частотных свойств сау
- •Лекция № 6 Ряд и интеграл Фурье в анализе нелинейных сау
- •Лекция № 7 Свойства преобразования Фурье
- •Лекция № 8 Свойства непрерывного преобразования Лапласа
- •Лекция № 9 Операционное исчисление в исследовании переходных процессов
- •С помощью преобразования Лапласа
- •1. Решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях
- •2.Решение дифференциального уравнения при ненулевых начальных условиях
- •Лекция № 10 Дискретные функции в исследовании микропроцессорных сау
- •Лекция № 11
- •Лекция № 12 Связь методов исследования непрерывных и дискретных сау
- •Лекция № 13 Векторы и операции над векторами
- •Лекция № 14 Матрицы и операции с матрицами
- •Лекция № 15 Векторно-матричные математические модели сау
- •Матричная передаточная функция
- •Лекция № 16 Математическое описание случайных процессов в сау
- •Библиографический список
Лекция № 8 Свойства непрерывного преобразования Лапласа
В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье.
В общем виде оно может быть представлено в виде выражения
Fx(s) = e-st F(t) dt.
0
Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:
1. Однозначность L[F(t)] = F(s), L-1[F(s)] = F(t);
2. Линейность
n n n n
aiFi(s) = L[ aiFi(t) ], aiFi(t) = L-1[ aiF(s) ];
i=1 i=1 i=1 i=1
3. Дифференцирование L[dF(t)/ dt] = sF(s);
4. Интегрирование
t
L[ F(t) dt ] = F(s)/s
0
5. Свертка оригиналов L[ F1(t)*F2(t) ] = F1(s)F2(s);
6. Умножение оригиналов
x+j
L[F1(t)F2(t)] = [ F1()F2(s-) d]/[2j];
x-j
7. Смещение L[F(t-q)] = e-st F(s).
Примеры получения отображений по оригиналам
1)L[1(t)] = 1e-st dt = - [e-st d(st)]/s = -(0 - 1)/s = 1/s;
0 0
2)L[e-bt] = e-st e-bt dt = e-(s+b)t dt =
0 0
= - [ e-(s+b)t dt]/[s+b] = - [0 - 1]/[s+b] = 1/[s+b];
0
3)L[sin(t)] = e-st sin(t) dt = [ (e jt - e-jt)e-st dt]/[2j]=
0 0
=[ e(j-s)t dt – e-(j-s)t dt]/[2j]=[1/(s-j)-1/(s+j)]/[2j] = /(s2+2).
0 0
[(ejt-e-jt) = 2jsin(t)]; sin(t) = (e jt – e -jt)/2j.
При нулевых начальных условиях (F(t) = 0 при t 0) и отсутствии у функции F(j) полюсов справа от мнимой оси комплексной плоскости преобразование Фурье совпадает с преобразованием Лапласа, если p = j. Такое предположение справедливо для многих аналитических функций, применяемых для математического описания САУ. Большинство из них приведено в следующей таблице, где p = s.
Таблица преобразования Лапласа непрерывных функций
№ п/п |
G(t) |
G(p) |
1 |
(t – kT) |
e-kTp |
2 |
(t) |
1 |
3 |
1(t) |
1/p |
4 |
t |
1/p2 |
5 |
e-at |
1/(p+a) |
6 |
te-at |
1/(p+a)2 |
7 |
1 – e-at |
a/[p(p+a)] |
8 |
t – (1 – e-at)/a |
a/[p2(p+a)] |
9 |
e-at + e-bt |
[(b-a)]/[(p+a)(p+b)] |
10 |
(c-a)e-at + (b-c)e-bt |
[(b-a)(p+c)]/ /[(p+a)(p+b)] |
11 |
1 – {b/[a – b]}e-at – {a/[a – b]}e-bt |
ab/[p(p+b)(p+c)] |
12 |
c + {[b(c – a)]/[a – b]}e-at + {[a(b – c)]/[a – b]}e-bt |
[ab(p+c)]/[p(p+a)(p+b)] |
13 |
e-at/[(b – a)(c – a)] + + e-bt/[(c – b)(a – b)] + + e-ct/[(a – c)(b – c)] |
1/[(p+a)(p+b)(p+c)] |
14
|
{[d – a]/[(b – a)(c – a)]}e-at + + {[d – b]/[ (c – b)(a – b)]}e-bt + + {[d – c]/[(a – c)(b – c)]}e-ct |
[(p+d)]/ /[(p+a)(p+b)(p+c)] |
15
|
1 – {[bc]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab]/[(a – c)(b – c)]}e-ct |
abc/[p(p+a)(p+b)(p+c)]
|
16 |
1 – (1 + at)e-at |
[a2]/[p(p+a)2] |
17 |
e-bt – e-at + (a-b)te-at |
[(a-b)2]/[(p+b)(p+a)2] |
18 |
sin(0t) |
0/[p2 + 02] |
19 |
cos(0t) |
p/[p2 + 02] |
20 |
1 – cos(0t) |
02 /[p(p2+02)] |
21 |
a[1 – sec (f) cos(0t + f)], где f = arctg [0/a] |
[02(p+a)]/[p(p2+02)] |
22 |
e-atsin(0t) |
0/[(p+a)2+02] |
23 |
e-atcos(0t) |
[p+a]/[(p+a)2+02] |
24 |
b[1 – e-at sec (f) cos(0t + f)], где f = arctg [a2 + 02 – ab]/[b0] |
[(a2+02)(p+b)]/ /{p[(p+a)2+02]} |
25 |
1 – e-at sec (f) cos(0t + f), где f = arctg [a/0] |
[a2+02]/ /{p[(p+a)2+02]} |
26 |
e-bt – e-at sec (f) cos(0t + f), где f = arctg [(b – a)/0] |
[(a – b)2+02]/ /{(p+b)[(p+a)2+02]} |
27
|
c + {[a2(a – b)]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab(c – a)+bc(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab(c –a)]/[a – b]}te-at |
[a2b(p+c)]/ /[p(p+b)(p+a)2]
|
28
|
1 – {[a2]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab + b(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab]/[a – b]}te-at |
[a2b]/[p(p+b)(p+a)2]
|
29
|
d – {[bc(d – a)]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca(d – b)]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab(d – c)]/[(a – c)(b – c)]}e-ct |
[abc(p+d)]/ /[p(p+a)(p+b)(p+c)] |