Лекция № 7 Свойства преобразования Фурье

Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде

F{f(t)} = F(j) = F₁() - jF₂(),

_{ }

где F₁() =  F(t)cos(t)dt; F₂() =  F(t)sin(t)dt.

^{ }

Если функция f(t) определена только при t > 0, т.е. f(t) = 0 при t < 0, рассмотренные функции F₁() и F₂() имеют самостоятельное наз­вание и значение:

_

F₁() =  f(t)cos(t)dt > 0 - косинус преобразование Фурье;

⁰

_

F₂() =  f(t)sin(t)dt > 0 - синус преобразование Фурье.

⁰

Пример 1

Преобразование Фурье применяется при исследовании частотных ха­рактеристик САУ и ее элементов. Для САУ с весовой функцией

0 при t < 0

F(t) = {

e^-bt при t > 0

преобразование Фурье имеет вид

_

F(j) =  e^-bt e^-jt dt = 1/(b + j) = (b - j)/(b² + ²) = b/( b² + ²) - j/( b² + ²).

⁰

Здесь функция F(j) является амплитудно-фазо-частотной характе­ристикой (АФЧХ) системы автоматического управления (САУ).

Такой же результат может быть достигнут, если воспользоваться си­нус и косинус преобразование Фурье

_

F(j) =  e^-bt[cos(t) - jsin(t)] dt = F₁() - jF₂(), где

⁰

_

F₁() =  e^-bt cos(t)dt = b/( b²+²) - вещественная часть АФЧХ;

⁰

_

F₂() =  e^-bt sin(t)dt = j/( b²+²) - мнимая часть АФЧХ.

⁰

Рассмотренные зависимости справедливы в тех случаях, когда F(t) = 0 при t < 0.

В противном случае, если при t < 0 F(t)  0, то имеет место равенство

_{  }

F(j) =  F(t)e^-jt dt =  f(t)e^-jt dt +  f(-t)e^jt dt = F₁(j) + F₂(j),

^{- 0 0}

что существенно затрудняет аналитическое исследование рассматриваемой функции. Для выхода из этого положения пользуются преобразованием Лапласа, которое будет рассмотрено далее.

Кроме того, следует заметить, что для многих функций интеграл при преобразовании Фурье расходится. Например, e^bt =  при b > 0 и t = .

В таких случаях вместо функции f(t) рассматривают функцию e^-xtf(t), где х = const, то интеграл преобразования Фурье сходится для большинства аналитических функций. Например, если x > b, то e^-xte^bt = e^(b-x)t = 0 при t = .

Следовательно, если ввести нормирующую функцию e^-xt, то интеграл Фурье практически всегда сходится при t  .

_

Fx(j) =  e^-jt[e^-xt f(t)] dt.

⁰

Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид

_

F(t) = [  e ^jt F(j) d]/[2 ],

^-

прямое и обратное преобразование функций представляется следующим об­разом

_

Fx(j) =  e^-(x+j) t f(t) dt;

⁰

_

F(t) = [ e-(x+j) t Fx(j)d]/[ 2 ] = F(t) при t > 0

^- 0 при t < 0 .

Если ввести обозначение s = x + j , то

Fx(j) = F(x + j) = F(s).

Поскольку x = const, a - <  < , x - j < s < x + j, то есть изменению переменной s соответствует перемещение F(s) по мнимой оси комплексной плоскости.

Рис. 7.1. Отображение переменной s на комплексной плоскости

С учетом введенного обозначения прямое и обратное преобразование Фурье принимает вид

_

Fx(s) =  e^-st f(t) dt; (7.1)

⁰

_{x + j}

F(t) = [ e^st Fx(s)ds]/[2j] = F(t) при t > 0

^{x - j} 0 при t < 0 ,

где Im (s) =  - частота гармоники разложения f(t) в спектр;

Re (s) = x - декремент затухания гармоники разложения f(t) в спектр;

выражение (7.1) - интеграл Лапласа.

Пример 2

Преобразование функции F(t) принимает вид

0 при t < 0

F(t) =

e^-bt при t > 0

_{ }

F(s) =  e^-st e^-bt dt =  e^-(s+b)t dt =

^{0 0}

_

= - [ e^{-(s+b) t} dt ]/[s+b] = - [0-1]/[s+b] = 1/[s+b].

⁰

Приведенное в примере 1 преобразование называют интегральным преобразованием Лапласа, названное по интегралу

_

Fx(s) =  e^-st f(t) dt.

⁰