Постановка задач анализа и синтеза сау

При настройке действующих и проектирования новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Понятия анализа и синтеза трактуют следующим образом.

АНАЛИЗ - процедура мысленного или реального разделения предмета, явления или процесса на составляющие элементы с целью изучения свойств элементов, взаимодействия элементов и системы в целом.

СИНТЕЗ - (процедура обратная анализу), соединение отдельных элементов в целое (систему) с целью получения новых качеств.

Применительно к теории управления эти понятия можно охарактеризовать более конкретно.

Задача анализа существующей САУ сводится к получению количествен­ных оценок качества ее функционирования. К этим оценкам можно отнести как необходимое условие - ее устойчивость, а также множество показателей качества, которые устанавливаются заказчиком. Наиболее часто применяются такие показатели как точность, время регулирования, перерегулирование и колебательность.

Задача анализа может быть сформулирована следующим образом:

ДАНО: 1.система (или модель);

2.входные воздействия (управляющие или возмущающие);

3.начальное состояние системы.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

1.устойчивость;

2.статическую характеристику;

3.переходные характеристики;

4.частотные характеристики;

5.необходимые показатели качества.

Задача синтеза формулируется следующим образом:

ДАНО:

1.требования к синтезируемой системе;

2.объект управления или его модель;

3.набор управляющих устройств.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

1.закон управления обеспечивающий выполнение требова­ний, предъявляемых к синтезируемой системе;

2.состав и свойства элементов, на которых реализуется синтезируемая система;

3.решить задачу анализа для реализованной системы;

4.оценить соответствие синтезированной системы предъявляемым требованиям.

Лекция № 5 Комплексные числа и функции в исследовании частотных свойств сау

При исследовании систем управления по их математическим моделям встречаются решения, которые невозможно отобразить вещественными чис­лами (например, уравнение Х² = - 9 не имеет решения отображаемого вещест­венным числом). Здесь пользуются понятием мнимого числа (jb, где j - квадратный корень из -1, а b - вещественное число).

Комплексным называют число, представляет собой алгебраическую сумму вещественного и мнимого чисел вида

A = (a + jb), где a - действительное число; jb - мнимое число.

Рис. 5.1. Отображение комплексного числа на комплексной плоскости

Действительные числа - это рациональные (записываемые с абсолютной точностью) и иррациональные (записываемые только с погрешностью округления) величины, отображаемые на действительной числовой оси - Re.

Мнимые числа - это величины пропорциональные мнимой единице

j = (-1)^1/2, где b - действительное число. Мнимые числа отображают на мнимой числовой оси - Im.

Комплексное число A = (a + jb) может быть отображено только на плоскости, где координатами являются взаимно перпендикулярные действительная и мнимая числовые оси. Эту плоскость называют комплексной.

В полярных координатах комплексное число может быть представлено на плоскости с помощью полярного радиуса R и полярного угла f

A(R,f) = R[cos(f) + jsin(f)].

В показательной форме А(R,f) = Rе^(jf) или с учетом формулы Эйлера

е^(jf) = cos(f) + jsin(f)).

Рис. 5.2. Отображение комплексного числа в полярных координатах

Соотношения между координатами имеют вид:

R = (a² + b²)^1/2 - модуль комплексного числа; f = arctg(b/a) - аргумент комплексного числа. С учетом сказанного можно записать следующие равенства.

A = a + jb = R[cos(f) + jsin(f)] = Rе^(jf).

Числа симметрично расположенные относительно оси абсцисс называют комплексно сопряженными:

A₁ = a + jb и A₂ = a - jb - сопряженные числа.

Арифметические действия над комплексными числами осуществляются следующим образом:

A₁ + A₂ = (a₁ + jb₁) + (a₂ + jb₂) = (a₁ + a₂) + j(b₁ + b₂);

A₁  A₂ = R₁e^(jf1) R₂e^(jf2) = R₁R₂e ^j(f1+f2);

Aⁿ = Rⁿe^(jnf) = Rⁿ[cos(f) + jsin(f)]ⁿ.

Если a и b - переменные величины, то A = a + jb - комплексная переменная, а F(A) - называют функцией комплексного переменного.

Функция F(A) - является непрерывной, если в любой точке Ао имеют место равенства:

;

Если последний предел существует, то F(A) - аналитическая функция. Пусть F(A) = P(a,b) + jQ(a,b), тогда аналитичность функции F(A)

определяется по условиям Коши-Римана

Примером аналитической функции комплексного переменного может служить частотная передаточная функция (амплитудно-фазо-частотная ха­рактеристика).

Пример 1

, где

;

A() = [U²() + V²()]^1/2;

f() = arctg[V()/U()].

Пример 2

Рис. 5.3. Последовательное соединений динамических звеньев

W₁(p) = 1/p; W₂ = 1/(p+1).

W₁(j) = 1/(j) = -j/; U₁() = 0; V₁() = -1/; A₁() = 1/; f₁() = -/2;

W₂(j) = 1/(j+1) = (1-j)/(1+²) = [1/(1+²)] - j[/(1+²)];

U₂() = [1/(1+²)]; V₂() = [-/(1+²)]; A₂() = 1/[(1+²)^1/2]; f₂() = arctg(-).

,

где

R() = 1/{[(1+²)^1/2]; f() = arctg(-) - /2;

U()=R()cos[f()]=1/(1+²); V()=R()sin[f()]=-1/[ (1+²)].

Пример 3

Критерий устойчивости Михайлова

Характеристическое уравнение

D(p) = p³ + p² + p + 1;

D(j) = (j)³ + (j)² + j + 1 = (1 - ²) + j( - ³);

U() = 1 - ²; V() = (1 - ²).

	0	0.5	1.0	2.0	
U()	1	0.75	0	-3	-
V()	0	0.375	0	-6	-

Рис. 5.4. Годограф характеристического уравнения