Лекция № 4 Аналитическое описание реальных элементов сау

Для того чтобы создать систему управления с заданными свойствами необходимо точно знать свойства элементов, из которых она будет построена. С этой целью следует найти или построить математические модели всех элементов, входящих в состав создаваемой САУ.

Рис. 4.1. Гидравлический объект

Построение моделей САУ базируется на законе сохранения энергии или вещества путем составления материальных или энергетических балан­сов рассматриваемых элементов.

В качестве примера рассмотрим гидравлический объект управления.

На рис. 4.1: Q₁ - приток жидкости в емкость; Q₂ - сток жидкости из емкости; М - запас жидкости в емкости; h - уровень жидкости в емкости; S - площадь сечения емкости. Материальный баланс можно отобразить следующим уравнением

dM(t) = Q₁(t)dt - Q₂dt, (4.1)

где Q₂(t) = kh(t); M(t) = Sh(t); k - коэффициент пропорциональности, определяющий зависимость стока жид­кости от ее уровня в емкости.

После алгебраических преобразований из уравнения (4.1) можно получить математическую модель гидравлического объекта в виде дифференциального уравнения первого порядка

(4.2)

После преобразования уравнения (4.2) по Лапласу получается математическая модель гидравлического объекта в виде алгебраического уравнения в операторной форме

(4.3)

Решение уравнения (4.3) относительно выходной переменной h(p) позволяет определить передаточную функцию

- называют передаточной функцией;

- канонический вид передаточной функции, (4.4)

где K = 1/k - коэффициент передачи;

T = S/k - постоянная времени;

p = j - оператор Лапласа;

- комплексная частотная передаточная функция

Аналогично можно описать тепловой объект (нагреватель).

Рис. 4.2. Тепловой объект

Тепловой баланс для нагревателя в данном случае имеет вид

dM = (Q₁ - Q₂)dt; dM/dt = Q₁ - Q₂;

cmd/dt = N - FA + FAo,

где Q1 - приток электрической энергии к нагревателю; Q2 - сток тепловой энергии в окружающую среду; М - запас тепловой энергии в нагревателе;

N - подводимая электрическая мощность; F - площадь теплообмена; А - коэффициент теплоотдачи;  - температура нагревателя; _o- температура окружающей среды; с - удельная теплоемкость; m - масса нагревателя; t - текущее время.

Приняв o = 0, можно получить модель в виде дифференциального уравнения в форме Коши:

d/dt = - [FA/cm] + [1/cm]N.

После преобразования по Лапласу получим модель в виде алгебраического уравнения в операторной форме:

p(p) = - [FA/cm](p) + [1/cm]N(p).

Решение этого уравнения имеет вид:

(p) = [1/cm]N(p)/{p + [FA/cm]} .

Здесь передаточная функция имеет вид W(p)=1/cm/ p + [FA/cm] или

W(p)=[1/FA]/{[cm/FA]p + 1} = K/(Tp + 1), (4.5)

где К = 1/FA; T = cm/FA.

Таким же образом можно описать механический объект

Рис. 4.3. Механический объект

m d²x/dt² + f dx/dt + c x = F,

где m - масса движимого тела; f - коэффициент трения движения; c - жесткость пружины; x - перемещение движимого тела; F - движущая сила (сила, действующая на тело).

Если считать, что в исходном положении тело находилось в покое [(dx/dt)o = 0] в начале координат (x₀ = 0), то в операторной форме уравнение движения тела принимает вид:

m p²X(p) + f pX(p) + c X(p) = F(p).

Решение этого уравнения можно представить следующим образом

X(p) = F(p)/[m p² + f p + c],

а передаточную функцию так:

W(p) = [X(p)/F(p)] = [1/c]/[(m/c) p² + (f/c) p + 1]. (4.6)