Лекция № 15 Векторно-матричные математические модели сау

Применительно к системам управления n-мерный вектор можно рассматривать как совокупность входных, выходных или промежуточных переменных, характеризующих конкретную систему. Размерность вектора в этом случае определяется числом переменных, характеризующих состояния, уп­равления или возмущения, действующих в системе.

Рис. 15.1. Многомерная САУ

Исследование системы, представленной на рис. 15.1. и характеризуемой дифференциальным векторно-матричным уравнением

dX/dt = AX + BU + CF, (15.1)

сводится к решению этого уравнения при различных управлениях U и воз­мущениях F.

Определение временных характеристик многомерной системы также сводится к решению системы нескольких (n) дифференциальных уравнений первого порядка или одного дифференциального уравнения n-го порядка. Решение дифференциальных уравнений, как указывалось выше, можно осуществлять аналитическими, графоаналитическими или вычислительными методами.

Широкое распространение получил метод, использующий преобразование Лапласа. В этом случае исходное векторно-матричное уравнение приводится к следующему виду.

pX(p) = AX(p) + BU(p) + CF(p) (15.2)

Поскольку уравнение (15.2) является алгебраическим, его решение осуществляется по законам алгебры, но при этом учитывается, что переменные X(p), U(p) и F(p) представляют собой матрицы-столбцы, а коэффициенты А, В, С – прямоугольные или квадратные матрицы.

[Ip - A]X(p) = BU(p) + CF(p);

X(p) = [Ip - A]^-1BU(p) + [Ip - A]^-1CF(p);

X(t) = L^-1{[Ip - A]^-1BU(p) + [Ip - A]^-1CF(p)}. (15.3)

В выражениях (15.3) I – представляет собой единичную матрицу (иногда единичная матрица обозначается буквой «Е»).

Матричная передаточная функция

При описании многомерных систем управления пользуются также понятием матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция предс­тавляет собой таблицу, элементами которой являются передаточные функции по отдельным каналам управления.

Например, уравнение системы управления имеет вид

X(p) = W(p)U(p),

где | x₁, x₂, ... , x_n |’ – вектор выходных переменных;

| u1,u2,...,un |’ – вектор входных переменных;

| w₁₁(p) w₁₂(p) ... w_1n(p) |

| w₂₁(p) w₂₂(p) ... w_2n(p) |

W(p) = |................…………….. |, (15.4)

|................………………|

| w_n1(p) w_n2(p) ... w_nn |

здесь w_nn(p) – передаточная функция по каналу «n»  «n».

Передаточные функции по отдельным каналам могут быть определены, когда имеется векторно-матричная модель системы. После преобразования модели по Лапласу и решению полученной системы уравнения по правилу Крамера.

Операторное векторно-матричное уравнение (15.1) и можно использовать для получения частотных характеристик системы. Для этого необходимо оператор Лапласа «р» на оператор «j».