Лекция № 14 Матрицы и операции с матрицами

Исторически понятие матрицы и матричного исчисления возникло в связи с изучением систем линейных уравнений. Система уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂;

.................................……….;

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n.

может быть представлена в компактной форме AX = B, где А - квадратная матрица

| a₁₁ a₁₂ ... a_1n |

| a₂₁ a₂₂ ... a_2n |

А = | .............…...|;

| a_n1 a_n2 ... a_nn |

B = | b₁ b₂ ... b_n |’ – матрица столбец;

X = | x₁ x₂ ... x_n |’ – n-мерный вектор (который имеет вид матри­цы столбца).

Вектор Х называют n-мерным по числу его координат х₁, х₂, ..., х_n. Используя понятия вектора и матрицы, решение систем уравнений можно формально трактовать как преобразования векторов и матриц.

Пример решение системы уравнений

| a₁₁x₁ + a₁₂x₂ | | b₁ |;

| | = | | или AX = B, (14.1)

| a₂₁x₁ + a₂₂x₂ | | b₂ |,

здесь

| a₁₁ a₁₂ | | b₁ | | x₁ |

A = | |; B = | |; X = | |.

| a₂₁ a₂₂ | | b₂ | | x₂ |

Для решения системы (14.1) необходимо найти обратную матрицу А^-1 и умножить слева на эту матрицу обе части уравнения (14.1)

| 1 0 |

А^-1AX = А^-1B; X = А^-1B, так как А^-1А = I = | | – единичная матрица.

| 0 1|

Таким образом, для решения систем линейных уравнений целесообраз­но воспользоваться математическим аппаратом алгебры матриц.

Алгебра матриц

Матрицей размером m  n называют таблицу вида

| a₁₁ a₁₂ ... a_1n |

| a₂₁ a₂₂ ... a_2n |

A = | a₃₁ a₃₂ ... a_3n |,

|.........…….….|

| a_m1 a_m2 ... a_mn |

где m = 1, 2, 3, ..., i, ...,; – номер строки;

n = 1, 2 , 3, ..., j, ...,. – номер столбца;

a_ij – элемент матрицы, находящийся в i-той строке и j-том столбце.

При m = n матрицу А называют квадратной;

при m = 1 матрицу А называют матрицей строкой;

при n = 1 матрицу А называют матрицей столбцом;

при m = n = 1 матрицу А называют скалярной величиной;

в других случаях матрицу А называют прямоугольной.

Элементы a₁₁, a₂₂,..., a_mn – расположены на главной диагонали.

Транспонированной к матрице А называют матрицу A', столбцы которой совпадают со строками матрицы А (и наоборот)

| a₁₁ a₂₁ ... a_n1 |

| a₁₂ a₂₂ ... a_n2 |

A’ = | a₁₃ a₂₃ ... a_n3 |.

| ............……. |

| a_m1 a_m2 ... a_mn |

Если А' = A, то А – симметрическая матрица;

если А' = -А, то А – кососимметрическая матрица.

Применительно к системе линейных уравнений матрица представляет собой таблицу коэффициентов при переменных

а₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n = b₁₁u₁+b₁₂u₂+...+b_1ku_k;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n = b₂₁u₁+b₂₂u₂+...+b_2ku_k;

...........................................…………………;

a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mnx_n = b_m1u₁+b_m2u₂+...+b_mku_k

или

| а₁₁ а₁₂ ... a_1n | | x₁ | | b₁₁ b₁₂ ... b_1k | | u₁ |;

| a₂₁ a₂₂ ... а_2n | | x₂ | | b₂₁ b₂₂ ... b_2k | | u₂ |;

| .............…….|  |… | = | .............……..|  | … |;

| a_m1 a_m2 ... а_mn | | x_n | | b_m1 b_m2 ... b_mk | | u_k |

или

AX = BU,

где

| а₁₁ а₁₂ ... a_1n | | b₁₁ b₁₂ ... b_1k |

| a₂₁ a₂₂ ... а_2n | | b₂₁ b₂₂ ... b_2k |;

A = | .............…….|; B = | .............……..|;

| a_m1 a_m2 ... а_mn | | b_m1 b_m2 ... b_mk |

| x₁ | | u₁ |;

| x₂ | | u₂ |;

X = |….|; = | x₁ x₂ … x_n |’; U = | ... | = | u₁ u₂ … u_k |.

| x_n | | u_k |

При решении систем линейных уравнений пользуются понятием обрат­ной матрицы, которая определяется из соотношения

AA^-1 = I,

где

| 1 0 ... 0 |

| 0 1 ... 0 |

I = | .......…..| – единичная матрица (квадратная).

| 0 0 ... 1 |

A^-1 = Adj A / | A |,

где

| A | – определитель матрицы А;

Adj A – присоединенная матрица получаемая транспонированием матрицы, составленной из миноров каждого элемента матрицы А, взятых со знаком (-1)^(i+j) (минор элемента составляют из элементов матрицы А после вычеркивания i-той строки и j-того столбца).

Следует заметить, что обратная матрица существует, если A  0. Для прямоугольных матриц (m  n) существуют псевдообратные матрицы

B = (A'A)^-1A' – левосторонняя обратная матрица, т.е.

BA = I (здесь А – матрица столбец);

С = A'(AA')-1 – правосторонняя обратная матрица, т.е.

АС = I (здесь А – матрица строка).

Действия над матрицами

1.Сложение

| a₁₁ a₁₂ a₁₃ | | b₁₁ b₁₂ b₁₃ | | a₁₁+b₁₁ a₁₂+b₁₂ a₁₃+b₁₃ |

A + B = | a₂₁ a₂₂ a₂₃ | + | b₂₁ b₂₂ b₂₃ | = | a₂₁+b₂₁ a₂₂+b₂₂ a₂₃+b₂₃ |

| a₃₁ a₃₂ a₃₃ | | b₃₁ b₃₂ b₃₃ | | a₃₁+b₃₁ a₃₂+b₃₂ a₃₃+b₃₃ |

2. Умножение

| a₁₁ a₁₂ | | b₁₁ b₁₂ | | a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁ a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂ |

A  B = | |  | | = | |;

| a₂₁ a₂₂ | | b₂₁ b₂₂ | | a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁ a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂ |

3.Транспонирование

(AB)' = B'A';

4. Разложение

A = [ A + A' ]/2 + [ A - A' ]/2;

5.Умножение на скаляр

| a₁₁ a₁₂ a₁₃ | | ka₁₁ ka₁₂ ka₁₃ |

kA = k| a₂₁ a₂₂ a₂₃ | = | ka₂₁ ka₂₂ ka₂₃ |;

| a₃₁ a₃₂ a₃₃ | | ka₃₁ ka₃₂ ka₃₃ |

6.Обращение произведения

[AB]^-1 = B^-1A^-1;

7.Вычисление определителя матрицы

| a₁₁ a₁₂ |

A = | | = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

| a₂₁ a₂₂ |

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера

Рассмотрим систему уравнений, у которой число неизвестных совпа­дает с числом уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂;

.................................……….;

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n.

В матричной форме система имеет вид АХ = В, где

| a₁₁ a₁₂ ... a_1n | | b₁ | | x₁ |

| a₂₁ a₂₂ ... a_2n | | b₂ | | x₂ |

А = | ….................. |; В = | ... |; X = | ... |.

| a_n1 a_n2 ... a_nn | | b_n | | x_n |

Пусть определитель матрицы А представлен выражением

Для решения системы вводятся определители D_j(j = 1,2,...,n), полу­чаемые путем замены в определителе D столбца при неизвестных x_j столб­цом матрицы В:

Теорема Крамера утверждает, что система n линейных уравнений с n неизвестными при D  0 всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формуле

x_j = D_j/D, j = 1,2,...,n.

Пример:

Система АX = B, где

| 1 2 | | 4 |

A = | 2 -3 |; B = | 1 |.

| 4 2 |

Тогда D = 1(-3) – 22 = -7; D₁ = det | 1 -3 | = 4(-3) – 12=-14;

| 1 4 |

D2 = det | 2 1 | = 11 – 24 = -7; x₁ = (-14)/(-7) = 2; x₂ = (-7)/(-7) = 1.