Лекция № 13 Векторы и операции над векторами

В теории автоматического управления и инженерной практике приходится иметь дело с величинами, которые характеризуются не только числом, но и направлением. К таким величинам относятся сила, скорость, ускорение и т.п.

Для характеристики этих величин пользуются понятием - ВЕКТОР.

Вектор - это величина, которая характеризуется числом и направлением. Для сравнения здесь следует отметить, что для описания физических величин, не имеющих направления в выбранной системе координат, пользуются понятием - СКАЛЯР. Скаляр - это величина, которая пос­ле выбора соответствующей единицы измерения полностью характеризуется только числом (например, длина, масса и т.п.). Следует различать чистые скаляры и псевдоскаляры. Псевдоскаляры также определяются числом, абсолютное значение которого не зависит от выбора осей координат, однако знак этого числа зависит от выбора направлений осей координат. Примерами псевдоскаляров могут служить угол, статический момент, напряжение и т.п.

В евклидовом пространстве рассматривают также скалярные функции векторного аргумента, векторные функции векторного аргумента и векторные функции скалярного аргумента.

Примером векторной функции скалярного аргумента может служить ГРАДИЕНТ скалярного поля ( например, температурного ).

grad t(r) = iD_x[t(r)] + jD_y[t(r)] + kD_z[t(r)],

где t(r) = t(x,y,z) - скалярная функция характеризующая (например, температурное) поле; r - радиус-вектор; D_x - частная производная по координате х; D_y - частная производная по координате y; D_z - частная производная по координате z,

или

G[t(r)] = iD_x[t(r)] + jD_y[t(r)] + kD_z[t(r)],

где G = iD_x + jD_y + kD_z - оператор Гамильтона.

Поток энергии или вещества, кроме ГРАДИЕНТА может характеризоваться ДИВЕРГЕНЦИЕЙ, которая является скалярной функцией векторного аргумента, и РОТОРОМ, который представляет собой векторную функцию векторного аргумента.

ДИВЕРГЕНЦИЯ характеризует работу по перемещению объекта в потоке энергии или вещества под действием определенной силы

DF(r) = div F(r) = iD_xF(r) + jD_yF(r) + kD_zF(r),

где iD_xF(r), jD_yF(r), kD_zF(r) - скалярные произведения соответствующих векторов, которые характеризуют выполняемую работу перемещения объекта по соответствующим координатам.

РОТОР характеризует момент силы, действующей на объект, помещенный в силовое поле (например, поток жидкости)

RF(r) = rot F(r) = i  D_xF(r) + j  D_yF(r) + k  D_zF(r),

где i  D_xF(r), j  D_yF(r), k  D_zF(r) - векторные произведения соответствующих векторов, которые характеризуют моменты силы по соответствующим координатам.

Операции над векторами и векторными функциями

1.Сложение

А + В = С.

2.Вычитание

А – В = А + (-В) = D.

3.Произведение:

а) скалярное

АВ = A'B = [ax ay az][bx by bz]' = axbx + ayby + azbz

свойства:

AB = ABcos(A,B); A(B+C) = AB + AC; AB = BA; (kA)B = k(AB); AA = A² = A²>=0;

б) векторное

A  B = A  B  sin(A,B) =

= (axbz - azby)i+(azbx - axbz)j+(axby - aybx)k

свойства:

A  B = -B  A; A  (B+C) = A  B+A  C; (kA)  B = k(A  B); A  A = 0;

A(A  B) = B(A  A) = 0;

| i j k |

A  B =| a_x a_y a_z | - определитель;

| b_x b_y b_z |

в) смешанное произведение (скалярно-векторное)

| a_x a_y a_z |

A(B  C) = | b_x b_y b_z |.

| c_x c_y c_z |

Векторный анализ

Пусть имеется вектор, который является функцией скалярной величины

A() = ia_x() + ja_y() + ka_z().

Если при различных значениях  откладывать вектор A() от общего начала, то конец вектора опишет некоторую кривую, которая называется ГОДОГРАФОМ вектора A().

Производная вектор-функции определяется выражением

dA()/d = lim [A( + ) – A()]/

^{  }

и представляет собой новую векторную функцию от , направление которой совпадает с направлением касательной к годографу вектора A() в соответствующей точке.

Правила дифференцирования:

1. Суммы

d[A() + B() + C() + ...]/d = dA()/d + dB()/d + dC()/d + ... ;

2. Произведения

d[f()A()]/d = [df()/d]A() + f()[dA()/d],

где f() - скалярная функция от ;

d[cA()]/d = c[dA()/d],

где с - постоянная величина;

d[A()B()]/d = [dA()/d]B() + [dB()/d]A();

d[A()B()]/d = [dA()/d]B() + A()[dB()/d].

Дифференцирование по времени:

а) скалярной функции векторного аргумента

df(X,U,t)/dt = [D_x'f(X,U,t)][dX/dt] + [D_u'f(X,U,t)][dU/dt] + D_tf(X,U,t);

б)векторной функции векторного аргумента

dF(X,U,t) = [D_x'f(X,U,t)][dX/dt] + [D_u'f(X,U,t)][dU/dt] + D_tf(X,U,t);

здесь

D_x' = [D_x1, D_x2, ... , D_xn] и D_u' = [D_u1, D_u2, ... , D_un] - частные про­изводные по векторному аргументу.

Определенный интеграл вектор-функции может быть выражен через ко­ординаты

₂ ₂ ₂ ₂

 A()d = i  a_x()d + j  a_y()d + k  a_z()d.

₁ ₁ ₁ ₁