Лекция № 11

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ

Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные уравнения в алгебраические, чем существенно облегчается иссле­дование линейных стационарных систем управления.

Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют представить разностные уравнения и дискретные функции в алгебраических выражений и упростить исследование импульсных и цифровых систем управ­ления. Дискретное преобразование Лапласа осуществляется по формуле

_

F_d(s) =  f(nT)e ^-nTs , где

^{n = 0}

f(nT) - дискретная (решетчатая) функция; nT - аргумент дискретной функции;

n = 0, 1, 2, ...,  - ряд целых чисел; Т - период повторения им­пульсов; s - оператор Лапласа.

Если принять обозначения: Т=1; e^Ts= z,

то можно перейти к Z-преобразованию

_

F(z) =  f(n)z^-n.

^{n = o}

Переменную z можно представить как оператор задержки на nT единиц времени.

Z-преобразование обозначается следующим образом

_

F(z) = Z[f(n)] =  f(n)z^-n.

^{n = o}

Оно обладает следующими свойствами:

1. Линейность

_{N N}

Z[ c_vf_v(n)] =  c_vF_v(z);

^{v=1 v=1}

2. Запаздывание (сдвиг функции вправо)

_m

Z[f(n – m)] = z^-m[F(z) +  f(r)z^r], r = n – m;

^{r = 1}

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле

Z[f(n – m)] = z^-mF(z);

3. Опережение (упреждение – сдвиг функции влево)

_{m - 1}

Z[f(n + m)] = z^m[F(z) –  f(k)z^-k];

^{k = 0}

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при значениях аргумента n от 0 до m – 1, то Z-преобразование производится по формуле

Z[f(n + m)] = z^mF(z);

4. Изображение разностей:

а) обратная разность

Z[D_O f(n)] = Z[f(n) – f(n – 1)] = [(z – 1)/z]F(z) + z ^-1f(-1).

Если исходная решетчатая функция f(n) равна нулю при отрицатель­ных значениях аргумента, то Z-преобразование производится по формуле

Z[D_Of(n)] = [(z – 1)/z]F(z),

а для k-той разности по формуле

Z[D_Of(n)] = [(z – 1)/z]^k F(z);

б) прямая разность

Z[D_Pf(n)] = (z – 1)^k F(z);

5. Изображение сумм:

a) неполная сумма

Z[б^k(n)] = F(z)/( z – 1)^k;

б) полная сумма

Z[б₀^k(n)] = [z/(z – 1)]^kF(z);

6. Изображение суммы ординат решетчатой функции

_

 f(n) = lim F(z) = F(1);

^{n = o z  1}

7. Начальное и конечное значение функций

а) конечное значение

_

lim f(n) =  D_p f(n) = lim [(z – 1)/z]F(z);

^{n   n = o z  1}

б) начальное значение

f(0) = lim [(z – 1)/z]F(z).

^{z  }

Решение разностных уравнений при нулевых начальных условиях

Общий вид разностного уравнения можно представить следующим обра­зом

a₀y(n) + a₁y(n – 1) + ... + a_my(n – m) =

= b₀u(n) + b₁u(n – 1) + ... + b_ku(n – k).

Переход к изображениям дает следующий результат

a₀y(z) + a₁z^-1y(z) + ... + a_mz^-my(z) =

= b₀u(z) + b₁z^-1u(z) + ... + b_kz^-ku(z);

(a₀ + a₁z^-1 + ... + a_mz^-m)Y(z) =

= (b₀ + b₁z^-1 + ... + b_kz^-k)U(z). (11.1)

Уравнение (11.1) является алгебраическим и имеет решение вида

Y(z) = (b₀ + b₁z^-1 + ... + b_kz^-k)U(z)/(a₀ + a₁z^-1 + ... + a_mz^-m) = W(z)U(z). (11.2)

В уравнении (11.2) W(z) - дискретная передаточная функция, которая представляет собой отношение выходной переменной Y(z) к входной U(z) преобразованными с помощью Z-преобразования при нулевых начальных ус­ловиях.

Оригинал решения (11.2) уравнения (11.1) находится путем обратного

Z-преобразования

y(n) = Z^-1[W(z)U(z)].

Пример

Непрерывное дифференциальное уравнение:

dX(t)/dt + X(t) = 1 (t); X(0) = 0.

Решение: X(t) = 1 – e^-t.

Дискретный аналог:

Примем dt = 0.068 , тогда DX(i) + 0.068X(i) = 0.068;

X(i+1)-X(i) + 0.068X(i) = 0.068;

X(i+1) = 0.932X(i) + 0.068.

Z-преобразование:

zx(z) – 0.932x(z) = 0.068z/(z – 1);

(z – 0.932)X(z) = 0.068z/(z – 1);

X(z) = 0.068z/[(z – 1)(z – 0.932)];

дискретное решение:

x(n) = Z^-1{0.068z/[(z – 1)(z – 0.932)]} = 1 – e ^-an0.068,

где a = - ln(0.932)/0.068;

непрерывное решение:

x(t) = 1 – e^-at, где a = - ln(0.932)/0.068  1.

Для решения разностных уравнений с помощью Z-преобразования целесообразно пользоваться соответствующей таблицей.

Таблица Z-преобразований

N	G(t)	G(z)
1	b[1 – e-atsec(f)cos(0t+f)], где f = arctg[(a2 + 02 – ab)/(b0)]	bz/(z – 1) – – b[z2 – ze-aTsec(f)cos(0T+f)]/ /[z2-2ze-aTcos(0T)+e-2aT]
2	1 – e-atsec(f)cos(0t + f), где f = arctg(a/0)	z/(z – 1) – – [z2 – e-aTsec(f)cos(0T + f)]/ /[z – 2ze-aTcos(0T) + e-2aT
3	e-bt – e-atsec(f)cos(0t+f), где f = arctg[(b – a)/0]	z/(z – e-bT) – – [z2 – ze-aTsec(f)cos(0T + f)]/ /[z2 – 2ze-aTcos(0T) + e-2aT]
4	e-atcos(0t)	[z2 – ze-aTcos(0T)]/[z2 – 2ze-aTcos(0T) + e-2aT]
5	e-atcos(0t)	ze-aTsin(0T)/[z2-2ze-aTcos(0T) + e-2aT]
6	a[1 – sec(f)cos(0t+f)], где f = arctg(0/a)	az/(z – 1) – – az[z – sec(f)cos(0T + f)]/[z2 – 2z cos(0T) + 1]
7	1 – cos(0t)	z/(z – 1) – z[z – cos(0T)]/[z2 – 2z cos(0T) + 1]
8	cos(0t)	z[z – cos(0T)]/[z2 – 2zcos(0T) + 1]
9	sin(0t)	z sin(0T )/[z2 – 2zcos(0T) + 1]
10	c + [a2(b – c)/(a – b)2]e-bt + + {[ab(c-a)+bc(a-b)]/[(a-b)2]}e-at + + [ab(c - a)/(a - b)]te-at	cz/(z - 1) + a2(b - c)z/[(a - b)2(z - e-bT)] + + [ab(c - a) + bc(a - b)]z/[(a - b)2(z - e-aT)] + + [ab(c - a)Te-aTz]/[(a-b)(z-e-aT)2]
11	1 – [a2/(a - b)2]e-bt + + {[ab + b(a - b)]/(a - b)2}e-at + + [ab/(a – b)]te-at	z/(z - 1) – az/[(a - b)2(z - e-bT)] + + z[ab + b(a - b)]/[(a - b)2(z - e-aT)] + + abTe-aTz/[(a-b)(z-e-aT)2]
12	e-bt – e-at + (a - b)te-at	z/[z - e-bt] – z[z - e-aT] + (a - b)Te-aTz/[(z - e-aT)2]
13	1 – (1 + at)e-at	z/(z - 1) – z/(z - e-aT) – aTe-aTz/(z - e-aT)2
14	d – {bc(d - a)/[(b - a)(c - a)]}e-at – – {ca(d - b)/[(c - b)(a - b)]}e-bt – – {ab(d - c)/[(a - c)(b - c)]}e-ct	dz/(z - 1) – bc(d - a)z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] – – ac(d - b)z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt) – – ab(d - c)z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)]
15	1 – {bc/[(b - a)(c - a)]}e-at – – {ca/[(c - b)(a - b)]e-bt – – {ab/[(a - c)(b - c)]e-ct	z/[z – 1] – bcz/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] – – acz/[(c - b)(a - b)(z - e-bt) – – abz/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)
16	{(d - a)/[(b - a)(c - a)]e-at + + {(d - b)/[(c - b)(a - b)]e-bt + + {(d - c)/[(a - c)(b - c)]}e-ct	(d - a)z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] + + ac(d - b)z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt)] + + ab(d - c)z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)]
17	e-at/[(b - a)(c - a)] + + e-bt/[(c - b)(a - b)] + + e-ct[(a - c)(b - c)]	z/[(b - a)(c - a)(z - e-at)] + + z/[(c - b)(a - b)(z - e-bt)] + + z/[(a - c)(b - c)(z - e-ct)]
18	c + [b(c - a)/(a - b)]e-at + + [a(b-c)/(a - b)]e-bt	cz/(z - 1) + b(c - a)z/[(a - b)(z - e-aT)] + + a(b - c)z/[(a - b)(z - e-bT)]
19	1 – [b/(a - b)]e-at – [a/(a - b)]e-bt	z/(z - 1) + bz/[(a - b)(z - e-aT)] – az/[(a - b)(z - e-bT)]
20	(c - a)e-at + (b - c)e-bt	(c - a)z/(z - e-aT) + (b - c)z/(z - e-bT)
21	e-at+ e-bt	z/(z - e-aT) – z/(z - e-bT)
22	t – (1 - e-at)/a	Tz/(z - 1) – (1 - e-aT)z/[a(z - 1)(z - e-aT)]
23	1 – e-at	[(1 - e-aT)z]/[(z - 1)(z - e-aT)]
24	te-at	Tze-aT/(z - e-aT)2
25	e-at	z/(z - e-aT)
26	t	Tz/(z - 1)2
27	1(t)	z/(z - 1)
28	б(t)	1
29	б(t - kT)	z-k