Лекция № 10 Дискретные функции в исследовании микропроцессорных сау

При исследовании цифровых и других "прерывистых" систем автоматического управления пользуются математическим аппаратом дискретных функций. Дискретные функции применяются для описания импульсных сигналов различной амплитуды и длительности.

Рис. 9.1. Выходные импульсные сигналы широтно-импульсного модулятора

A - амплитуда импульса; T_П - период повторения импульсов;

Т_И - длительность импульса;  = 1/T_П - частота повторения импульсов;

S = T_П/Т_И - скважность импульсов.

Прерывистые сигналы действуют в САУ, в состав которой входит импульсный элемент. В качестве импульсного элемента могут быть прерыватели или переключатели. Эти элементы преобразуют непрерывный сигнал в последовательность импульсов. Поскольку последовательность импульсов невозможно описать непрерывными функциями, было введено понятие решетчатой (дискретной) функции.

Решетчатой называют такую функцию, значения которой определены только лишь в дискретные (отдельные) равноотстоящие моменты времени. В отличие от непрерывной функции X(t) решетчатая функция в качестве аргумента имеет набор чисел (nT_П) и набор своих значений

X(nT_П) = X(t) при t = nT_П,

где Т_П - период повторения импульсов бесконечно малой длительнос­ти, амплитуда которых равна X(nT_П); n - любое целое число. Обычно пери­од повторения (T_П) импульсов принимается равным 1 и тогда решетчатая функция записывается в виде X(n).

С решетчатыми функциями можно производить все известные математические операции:

1. Сложение - вычитание

X(n) = x(n) + y(n),

X(n) = x(n) – y(n);

2. Умножение - деление

X(n) = x(n)y(n),

X(n) = x(n)/y(n);

Рис. 10.1. Амплитудно-импульсная модуляция непрерывного сигнала

3. Дифференцирование равносильно разности соседних дискрет

(различают прямую и обратную разности)

D_P X(i) = x(i + 1) – x(i) - прямая разность,

D_O X(i) = x(i) – x(i – 1) - обратная разность;

4. Интегрирование равносильно сложению дискрет

(различают полную и неполную сумму)

_N

₀[X(n)] =  x(i) - полная сумма,

^{i = 0}

_N-1

[X(n)] =  x(i) - неполная сумма.

^{i = 0}

При решении разностных уравнений могут встретиться разности более высокого порядка, чем первый. Многократные разности вычисляются следующим образом

D_P²[X(i)] = D_P[X(i + 1)] – D_P[X(i)] =

= X(i + 2) – X(i + 1) – X(i + 1) + X(i) = X(i + 2) – 2X(i + 1) + X(i);

_k

D_P^k[X(i)] =  (-1)^kX(i + k – v)k!/[v!(k – v)!].

^v=0

Пример

Непрерывное дифференциальное уравнение:

dX(t)/dt + X(t) = 1 (t); X(0) = 0.

Решение: X(t) = 1 – e^-t.

Дискретный аналог непрерывного дифференциального уравнения можно получить следующим образом:

X(t)/ t + X(t) = 1(t)  X(t) + tX(t) = t1(t)

После принятия t = 0.068 дифференциальное уравнение записать так:

X(i) + 0.068X(i) = 0.068;

X(i+1) – X(i) + 0.068X(i) = 0.068;

Решение (выражение позволяющее вычислить все значения X(i) при i от 0 до N)

X(i + 1) = 0.932X(i) + 0.068.