Лекция № 9 Операционное исчисление в исследовании переходных процессов

Исследование переходных процессов в САУ обычно связано с решением дифференциальных уравнений, что значительно упрощается при использова­нии операционного исчисления.

Схема решения дифференциальных уравнений

С помощью преобразования Лапласа

Диф. уравнение  Диф. исчисление  Оригинал решения

 (Мат. аппарат) 

Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа

 

Алгебр. уравнение  Алгебра  Изображение решения

(Мат. аппарат)

1. Решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях

Пусть имеется дифференциальное уравнение записанное в стандартной форме

a_n[dⁿX(t)/dtⁿ] + a_n-1[d^n-1X(t)/dt^n-1 + ...+ a₁[dX(t)/ dt + a₀X(t) =

= b_m[d_mU(t)/dt_m] + b_m-1[d^m-1U(t)/dt^m-1] + ... + b₁[dU(t)/dt] + b₀U(t), (9.1)

где n > m.

После преобразования его по Лапласу оно принимает вид

a_npⁿX(p) + a_n-1p^n-1X(p) + ...+ a₁pX(p) + a₀X(p) =

= b_mp^mU(p) + b_m-1p^m-1U(p) + ... + b₁pU(p) + b₀U(p). (9.2)

Алгебраическое уравнение (9.2) решается в следующем порядке

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀)X(p) =

= (b_mp^m + b _m-1p^m-1 + ... + b₁p + b₀)U(p);

X(p) = [(b_mp^m + b _m-1p^m-1 + ... + b₁p + b₀)U(p)]/[a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀];

X(t) = L^-1{[(b_mp^m + b _m-1p^m-1 + ... + b₁p + b₀)U(p)]/[a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀]}.

Пример 1

dX(t)/dt + 3X(t) = 2U(t); X(0) = 0; U(t) = 1(t).

После преобразования по Лапласу

pX(p) + 3X(p) = 2/p;

(p + 3)X(p) = 2/p;

X(p) = 2/[p(p + 3)] (9.3)

Для того чтобы воспользоваться таблицей обратного преобразования Лапласа, необходимо выражение (9.3) предста­вить в следующем виде

X(p) = {2/3}{3/[p(p + 3)]}.

Тогда в соответствии с таблицей

X(t) = (2/3)L^-1{3/[p(p + 3)]} = (2/3)(1 – e ^-3t).

2.Решение дифференциального уравнения при ненулевых начальных условиях

Пусть имеется дифференциальное уравнение с ненулевыми начальными условиями, представленное в следующем виде

dⁿX(t)/dtⁿ + a_n-1[d^n-1X(t)/dt^n-1] + ...+ a₁[dX(t)/ dt] + a₀X(t) = U(t). (9.4)

при начальных условиях:

[d^n-1X(t)/dt^n-1]₀ – начальное значение (n-1)-ой производной функции X(t);

[d^n-2X(t)/dt^n-2]₀ – начальное значение (n-2)-ой производной функции X(t);

[dX(t)/dt]₀ – начальное значение первой производной функции X(t);

X₀ – начальное значение функции X(t).

После преобразования уравнения (9.4) по Лапласу с учетом начальных условий получается уравнение вида

{pⁿX(p) – p^{n - 1}X₀ – p^{n - 2}[dX(t)/dt]₀ – … – p[d^n-2X(t)/dt^n-2]₀ – p⁰[d^n-1X(t)/dt^n-1]₀} +

+ a_n-1{p ^n-1X(p) – p^{n - 2}X₀ – p^{n - 3}[dX(t)/dt]₀ – … – p⁰[d^n-2X(t)/dt^n-2]₀} + ... + a₀X(p) =

= U(p). (9.5)

После алгебраических преобразований решение уравнения (9.5) можно представить в виде

X(p) = U(p)/[a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀] +

+ [(p^n-1 + ... + a₁p + a₀)X₀]/[a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀] +

+ [(p^n-2 + ... + a₁p + a₀)(dX(t)/dt)₀]/[a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀] +

+ ………………………………………………………………….. +

+ [(p^n-3 + ... + a₁p + a₀)(d^n-1X(t)/dt^n-1)₀]/[a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + ...+ a₁p + a₀].

Решение уравнения (9.4) определяется из зависимости

X(t) = L^-1{X(p)}.

Пример 2

Пусть имеется уравнение

dX(t)/dt + 2X(t) = U(t); X(0) = 2; U(t)=1(t). (9.6)

Чтобы воспользоваться таблицей преобразований Лапласа, необходимо уравнение (9.6) преобразовать по Лапласу и выполнить математические операции

pX(p) – p⁰X₀ + 2X(p) = U(p);

(p + 2)X(p) = 1/p + X₀;

X(p) = 1/[p(p+2)] + X₀/(p+2);

X(t) = L^-1{1/[p(p+2)]} + L^-1{2/(p+2)}.

Воспользовавшись таблицей преобразования Лапласа, можно получить

X(t) = (1 – e^-2t)/2 + 2e^-2t. (9.7)

Из выражения (9.7) видно, что X(0) = 2, a X() = 1/2.

Пример 3

Дифференциальное уравнение второго порядка

d²X(t)/dt² + a₁dX(t)/dt + a₂X(t) = bU(t); X(0) = X₀;

dX(0)/dt = [dX(0)/dt]₀; U(t) = 1(t). (9.8)

После преобразования уравнения (9.8) по Лапласу получается алгебра­ическое уравнение вида

{p2X(p) – pX₀ – [dX(0)/dt]₀} + a₁[ pX(p) – X₀ ] + a₀X(p) = bU(p);

(p² + a₁p + a₀)X(p) = bU(p) + (p + a₁)X₀ + [dX(0)/dt]₀; (9.9)

X(p) = bU(p)/(p² + a₁p + a₀) +

+ [(p + a₁)X₀]/(p² + a₁p + a₀) +

+ [dX(0)/dt]₀/(p² + a₁p + a₀). (9.10)

Для того чтобы воспользоваться таблицей преобразования Лапласа, необходимо найти корни характеристического уравнения

p² + a₁p + a₀ = 0.

k₁ = - a₁/2 + (a₁²/4 – a₀)^1/2;

k₂ = - a₁/2 – (a₁²/4 – a₀)^1/2.

Если корни вещественны, то решение уравнения (9.9) имеет вид

X(p) = bU(p)/[(p – k₁)(p – k₂)] +

+ [(p + a₁)X₀]/[(p – k₁)(p – k₂)] +

+ [dX(0)/dt]₀/[(p – k₁)(p – k₂)].

Если корни различны (k₂  k₁), то в соответствии таблицей Лапласа получается

X(t) = [b/(k₁k₂)][1 – (k₂e^k1t + k₁e^k2t)/(k₂ – k₁)] +

+ [X₀/(k₂ – k₁)][(a₁ – k₁)e^k1t + (k₂ – a₁)e^k2t] +

+ [dX(0)/dt]₀[k₂ – a₁][e^k1t + e^k2t]. (9.11)

Если корни одинаковы (k2 = k1 = k), то оригинал выражения (9.10) принимает вид

X(t) = b[1 + (kt – 1)e^kt]/k² +

+ X₀[1 + (k + a₁)]e^kt +

+ [dX(0)/dt]₀te^kt. (9.12)

Решение (9.12) отличается от решения (9.11) возможностью возникнове­ния колебаний решения X(t) при соответствующих соотношениях коэффици­ентов.

Если корни комплексно-сопряженные, то решение уравнения (9.9) отли­чается от приведенных в выше в данном примере тем, что решение обяза­тельно имеет колебательный характер.

При a₁²/4 – a₀ < 0 характеристическое уравнение

p² + a₁p + a₀ = 0

имеет комплексно-сопряженные корни

k₁ = - a₁/2 + ( a₁²/4 – a₀ )^1/2; k₂ = - a₁/2 – ( a₁²/4 – a₀ )^1/2

или

k₁ = k + jq ; k₂ = k – jq, где k = - a₁/2; q = (a₁²/4 – a₀)^1/2

Тогда решение X(p) уравнения (9.9) имеет вид

X(p) = b/{p[(p – k)²+q²]} +

+ [Xo(p + a₁)]/[(p – k)²+q²] +

+ [dX(0)/dt]₀/[(p – k)²+q²]. (9.13)

Оригинал решения (9.13) характеризуется выражением

X(t) = b[Ae^ktsin(qt + f₃) + K₃] +

+ X₀A₁e^ktsin(qt + f₁) +

+ [dX(0)/dt]₀A₂e^ktsin(qt), где

A₁ = [(k+a₁)²+q²]^1/2/q; A₂ = 1/q; A₃ = 1/{[(k²+a₁²)^1/2]q};

K₃ = 1/(k²+a₁₂); f₁ = arctg [q/(k+a₁)]; f₃ = - arctg (q/k).