Формы записи комплексных чисел

• Алгебраическая форма комплексного числа – это запись комплексного числа z в виде:

где и – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению . Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение . Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .

Комплексное число считается записанным корректно, если записано именно в данном виде. Запись по типу: – ошибка. Правильный вариант: .

Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо, в первую очередь, изобразить саму плоскость, представляющую из себя обычную координатную плоскость, но с осями (вместо ) и (вместо ), на первой оси отметить значение , на второй – значение . Пересечение перпендикуляров к этим точкам и есть число .

• Тригонометрическая форма комплексного числа , не равного нулю, – это запись:

Где – модуль комплексного числа, а угол . Аргумент находится следующим образом:

Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо из начала координат провести прямую под углом и отложить на ней расстояние . Конец отрезка есть число .

Короче говоря, число на комплексной плоскости задает вектор с координатами , длиной и углом наклона к оси .

• Показательная форма комплексного числа – выражение:

где – модуль комплексного числа, – его аргумент, – экспонента, – мнимая единица. По формуле Эйлера:

Сопряженные комплексные числа

Комплексны числа и называются сопряженными.

• в тригонометрической форме:

• в показательной форме:

Геометрический смысл: сопряженное числу есть число, симметричное самому числу относительно оси .

Свойства операции сопряжения:

1. ;

2. тогда и только тогда, когда – комплексное число;

3. 

4. 

5. 

6. 

Действия с комплексными числами

;

Равенство комплексных чисел:

• В алгебраической форме:

, если и

• В тригонометрической форме:

, если и

Сложение комплексных чисел:

• В алгебраической форме:

(аналогично с вычитанием)

• В тригонометрической форме:

(аналогично с вычитанием)

Умножение комплексных чисел:

• В алгебраической форме:

(простое раскрытие скобок)

• В тригонометрической форме:

Деление комплексных чисел:

• В алгебраической форме:

(раскрытие скобок с помощью домножения знаменателя на сопряженное)

• В тригонометрической форме:

Возведение комплексного числа в степень

• в тригонометрической форме (формула Муавра):

• в показательной форме:

Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после домножения.

Извлечение корня из комплексного числа

Чтобы извлечь корень из комплексного числа, в первую очередь, нужно представить его в тригонометрической форме. Количество корней есть значение, равное степени корня. То есть, извлекая корень 4-й степени из комплексного числа, мы получаем 4 корня.

Как и для возведения в целую степень, будет справедливо:

– степень извлекаемого корня, . Вычисляем извлеченные корни поочередно, в каждый из которых подставляем свое значение n. Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после всех операций вычисления.

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины правильного -угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом .

Свойства комплексных чисел

• Переместительное свойство:

;

• Сочетательное свойство:

;

• Распределительное свойство: