7. Стационарность в строгом и мягком смыслах

Пространственная непрерывность связана с другим краеугольным поня­тием — стационарностью. Стационарность в строгом теоретическом смыс­ле определяется следующим образом.

Если совместная функция распределения (2.1) инвариантна относительно положения начала координат, то в этом случае говорят о стационарности случайной функции Z(x) в области S. Это означает, что любые два вектора случайных переменных {Z(х₁...Z(x_N)} и {Z(х₁ + h), Z(x_N + h)} имеют одинаковые условные многомерные функции распределения независимо от вектора сдвига h:

т. е. функция распределения является трансляционно инвариантной.

Пространственная стационарность в строгом смысле означает, что распре­деления случайной величины в двух различных зонах области распределе­ния являются идентичными. Таким образом, полная стационарность явля­ется скорее теоретическим, чем реально применимым для моделирования природных явлений понятием.

Пространственная нестационарность заключается в меняющемся харак­тере функции распределения в зависимости от местоположения точек из­мерения.

Гипотеза о пространственной стационарности функции распределения часто необходима при решении задач пространственной интерполяции. Условие стационарности является весьма строгим, поэтому на практике ис­пользуются более мягкие условия стационарности второго порядка (стаци­онарность в широком смысле) или внутренняя гипотеза. В рамках предпо­ложения о стационарности второго порядка, в частности, работает базовый метод геостатистики — кригинг.

Случайная функция Z(x) обладает стационарностью второго порядка, если [JourneL Huijbregts, 1978]:

• математическое ожидание т(х) существует и не зависит от местополо­жения х:

• для каждой пары значений случайной переменной {Z(x), Z(x + h)} ковариация существует и зависит только от разности координат h:

Таким образом, стационарность второго порядка — это стационарность только для моментов первого и второго порядка.

Случайная функция Z(x) удовлетворяет внутренней гипотезе, если:

• математическое ожидание т(х) существует и не зависит от местополо­жения х:

• для любого вектора h разность Z(x) - Z(x + h) имеет конечную вариа­цию, не зависящую от x (стационарность приращений):

Из внутренней гипотезы следует определение одного из ключевых понятий геостатистики — вариограммы. Функция y(h) носит название полувариограммы (или вариограммы) и является статистическим моментом второго порядка. Внутренняя гипотеза (intrinsic hypothesis) соответствует стацио­нарности второго порядка для приращений функции.

Центральная идея геостатистики состоит в использовании знаний о про­странственной корреляции экспериментальных данных для построения пространственных оценок и интерполяций. Вариограмма — ключевой ин­струмент для оценки степени пространственной корреляции, имеющейся в данных, и для ее моделирования. Модель вариограммы является функцией, определяющей зависимость изменения исследуемой величины в простран­стве от расстояния. Следовательно, интерполяционная модель, основанная на такой корреляционной функции, будет отражать реальные явления, ко­торые лежат в основе данных измерений.

В условиях стационарности второго порядка корреляция между измерения­ми в двух точках, как уже указывалось, предполагается зависящей только от разности местоположений этих точек. С точки зрения пространствен­ных корреляций это означает, что различные регионы статистически по­добны, что позволяет интерпретировать различные регионы как различные реализации стохастической региональной функции и делать статистические выводы. Таким образом, значения измерений, проведенных в некотором конечном множестве точек, могут быть исследованы с точки зрения поведения разности между ними. Всевозможные пары точек могут быть рассортированы по классам в соответствии с разностью их координат h = х_i - х_j, называемой лагом (или лэгом — lag). Для близких точек разность значений функции в них обычно меньше и растет с увеличением расстоя­ния между точками. Вычислив среднее значение квадратов разностей для каждого значения лага h (для каждого собранного класса пар измерений), можно получить дискретную функцию, называемую экспериментальной ва­риограммой (sample variogram, или raw variogram — вариограммой сырых данных).

Теоретически поведение экспериментальной вариограммы должно иметь отношение к пространственной корреляции между образцами и может содержать количественную информацию о пространственном процессе. Но чтобы использовать эту информацию в теоретических исследовани­ях и практических оценках, необходимо построить непрерывную гладкую функцию, которая будет представлять собой теоретическую модель экс­периментальной вариограммы. После такой подгонки (fitting) модельной вариограммы к экспериментальному образцу первая может быть использо­вана для вычисления весов при интерполяции кригингом.

Вариограмма, вообще говоря, — это функция векторного аргумента h. Ча­сто случается, что пространственная корреляция зависит не только от рас­стояния между точками измерений, но и от направления, т. е. данные мо­гут обладать пространственной анизотропией. В этом случае оцениваются вариограммы по направлениям (directional variograms) и строится общая анизотропная модель вариограммы.

Свойство эргодичности по отношению к пространственным данным означа­ет, что при вычислении различных статистических моментов можно перехо­дить от усреднения по реализациям к усреднению по пространству, а также делать при этом статистические выводы.