6. Пространственная непрерывность

Пространственная непрерывность присутствует в большинстве геофизи­ческих явлений и выражает простое свойство исследуемой функции Z(x): в двух точках, находящихся ближе друг к другу, скорее будут близкие зна­чения, чем в более удаленных друг от друга точках. Подчеркнем вероят­ностный, статистический характер этого понятия.

Пространственную непрерывность в данных можно наглядно продемон­стрировать, если построить зависимость значений, удаленных друг от дру­га, от расстояния между ними. Такая диаграмма называется диаграммой взаимного разброса пар точек (h-scatterplot), разделенных расстоянием h (рис. 9). Диаграмма взаимного разброса пар позволяет увидеть про­странственную непрерывность и проверить наличие корреляции в данных как качественно, так и количественно.

На плоскости отмечают все возможные пары измерений, разделенные век­тором h. Если значения в паре, разделенной вектором h = х_i - х_j, обозна­чить Z(х) и Z(х + h), то по оси абсцисс откладывается значение переменной Z(x), а по оси ординат — Z(x + h). Диаграмма характеризует коррелиро­ванность значений в точках, разделенных данным расстоянием, и в опреде­ленном направлении. Если значения в точках, разделенных вектором (либо расстоянием) h, близки, то точки диаграммы сгруппируются вдоль прямой у = х. При большей разнице между значениями в парах облако на диаграм­ме будет расплываться. Это обычно происходит при увеличении расстояния h. Часто на итоговую статистику диаграммы влияют отдельные отклонения. Такие пары точек лежат в отдалении от прямой у = х. В этом случае стоит попробовать посчитать статистику, исключив эти точки из рассмотрения.

На рис. 9 изображены диаграммы разброса пар для данных по загрязне­нию почвы в западной части Брянской области изотопом ¹³⁷Cs для расстоя­ний 10 (слева) и 70 км (справа). На расстоянии 10 км пространственная корреляция существенна: точки на диаграмме пар сгруппированы вдоль прямой у=х. На расстоянии 70 км пространственная корреляция уже очень слаба — диаграмма принимает форму прямоугольника.

Рис. 9. Диаграммы разброса пар точек на расстоянии h = 10 км демонстрирует корреляцию между данными (а); на расстоянии h = 70 км между точками отсутствует корреляция (б) для данных по загрязнению западной части Брянской области изотопом ¹³⁷Cs

Пространственная непрерывность может быть исследована простым мето­дом вычисления локальных статистических характеристик: среднего, ва­риации и т. п.

Статистика движущегося окна (moving window statistics) - это подсчет описанной выше статистики, но не для всей области данных в целом, а в ее подобластях (окнах). Такой метод очень полезен для поиска зон аномаль­ных средних значений и при наличии зон различной вариации значений (heteroscedasticity) [Isaaks, Srivastava, 1989]. Метод состоит в разбиении области данных на несколько одинаковых, обычно прямоугольных окрест­ностей - окон. Размер окна зависит от среднего расстояния между точка­ми. Хорошим компромиссом между большими и маленькими окнами явля­ются перекрывающиеся окна. При этом два соседних окна имеют несколько общих точек. Это повышает количество окон при достаточно большом их размере, дающем достоверную статистику. Таким образом, мы как бы берем в руки "окно-лупу" и рассматриваем всю область, передвигая по ней окно. Статистические характеристики вычисляются для каждого поднабора дан­ных, попавших в отдельное окно.

Можно построить карту локальных средних значений и стандартных откло­нений в окнах. При сравнении с образами данных, приведенными выше, можно увидеть те же области, где локальное среднее велико. Но в допол­нение к этому можно выделить области локального изменения вариабель­ности, которые не детектировались предыдущими методами (рис. 10).

Рис. 10. Локальные значения статистики с движущимся окном: о — количество точек в окне; 6— среднее значение; в — стандартное отклонение; г — минимальное значение; д — максимальное значение; е — размах значений; ж — коэффициент вариации, з — коэффициент симметрии, и — эксцесс

Эффект пропорциональности (proportional effect) состоит в наличии явной зависимости между локальными средними значениями и локальной вариа­бельностью, описываемой локальным стандартным отклонением, т. е. когда коэффициент вариации CV=σ/m демонстрирует явное детерминированное поведение. Можно выделить четыре самых общих случая этой зависимости [Isaaks, Srivastava, 1989]:

• среднее и вариабельность постоянны;

• среднее имеет локальный тренд, в то время как вариабельность остается постоянной;

• среднее постоянно, но изменяется вариабельность;

• и среднее, и вариабельность изменяются вместе пропорционально.

Для определения эффекта пропорциональности можно построить диаграм­му разброса (scatterplot) локального стандартного отклонения в зависи­мости от локального среднего (рис. 11). При нормальном распределении данных эффект пропорциональности не наблюдается, и стандартное от­клонение обычно постоянно. При логнормальном распределении зависи­мость между локальным средним и локальным стандартным отклонением линейная. В исследуемых данных корреляция между локальным средним и локальным стандартным отклонениями достаточно высока и равна 0,69 (см. рис. 11). Это свидетельствует о наличии в данных эффекта пропор­циональности.

Рис.11. Корреляция локального среднего значения с локальным стандартным отклонением по результатам статистики с движущимся окном