Лекция 3. Основные понятия и элементы геостатистики

Вопросы для изучения:

1. Пространственно распределенные данные

2. Метрика в пространстве

3. Пространственное разрешение

4. Сеть мониторинга и кластерность

5. Декластеризация

6. Пространственная непрерывность

7. Стационарность в строгом и мягком смыслах

8. Геостатистическое оценивание

9. Проверка качества модели - кросс-валидация

1. Пространственно распределенные данные

При анализе данных различных измерений часто крайне трудоемко или вовсе невозможно получить формульный закон распределения данных на основе физических процессов, обуславливающих соответствующие явле­ния.

Альтернативный подход - статистическое (а не детерминистическое) описание пространственного распределения. В отличие от детерминисти­ческих методов, геостатистические оценки опираются на информацию о внутренней структуре данных, зависят от самих данных, т. е. являются адап­тивными. Геостатистика базируется на статистической интерпретации дан­ных. Предполагается, что данные измерений z(х) являются реализациями случайных переменных Z(x), которые описываются некоторыми функциями распределения. Это, однако, не означает, что природа самого процесса яв­ляется случайной. Чтобы использовать геостатистику, необходимо опреде­лить пространственную корреляционную структуру поля Z(x), задаваемую всеми случайными переменными в области исследования. Геостатистический подход позволяет исходить при анализе из строгих критериев.

Предметом анализа геостатистики являются пространственные переменные (или регионализованные переменные — regionalised variables), что анало­гично переменным с координатной привязкой. Примеры пространственных переменных: количество осадков, плотность населения в некоторой геогра­фической области, мощность геологической формации, плотность загрязне­ния почвы, среднее потребление электроэнергии в определенный час и т.п.

Пространственные переменные не следует путать со случайными величинами, изучаемыми методами обычной статистики. Случайная функция определяется как набор обычно зависимых между собой случайных переменных Z(x), по одной для каждого местоположения х в рас­сматриваемой области. Любому набору из местоположений {х_к, к = 1,N} можно поставить в соответствие N случайных переменных {Z(х₁),..., (Z (х_N)}, которые характеризуются N-мерной условной функцией распределения:

(2.1)

Понятие случайной величины в классической статистике имеет конкретный смысл только при соблюдении следующих условий:

1. должна быть хотя бы теоретическая возможность бесконечного повто­рения испытаний (реализаций), в результате которых случайная вели­чина приобретает численные значения;

2. результат каждого из испытаний должен быть независим от результатов всех предыдущих испытаний.

Пространственная переменная не удовлетворяет ни одному из этих усло­вий (!). Если, например, испытание состоит в отборе пробы в точке х, то содер­жание искомого вещества в такой пробе будет единственным, физически определенным и ни в коей мере не случайным. Нет никакой возможности повторить такое испытание, поскольку проба в конкретной точке уже взя­та, что влечет невыполнение условия 1. Однако есть возможность отобрать новую пробу в непосредственной близости от точки х, что можно в прибли­жении принять за выполнение условия 1. Но тогда нарушается условие 2. Если первая проба отобрана в обогащенной зоне, то вторая проба, взятая в непосредственной близости от первой, как правило, будет иметь высокое содержание. Таким образом, испытания оказываются зависимыми.

В дальнейшем мы будем использовать для удобства привычный в статистике термин случайной величины, понимая под ней пространственную регионализованную переменную и учитывая вышеописанные особенности. На блюдаемая переменная может быть непрерывной (например, любая фи­зическая величина - плотность, давление, концентрация и т. п.) или категориальной (например, тип почвы либо геологической породы). Для анализа переменных разного типа естествен­но использовать различные подходы.