Задачи и упражнения iiIго типа.

Задача №1.

Максимально упростите выражения своего варианта, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным.

(Отметим эту функцию как F1, для таблицы истинности)

Решение:

1) Максимально упростим выражение.

(Отметим эту функцию как F2, для таблицы истинности)

2) Строим таблицу истинности.

а	b	c	d	f2	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	f1 x6&x7
0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0
1	1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0	1	0	1	0

Из таблицы истинности видно, что значения функции F1 и F2 на всех наборах переменных совпадают. Это значит, что упрощение исходного выражения было верным и F2=F1.

Задача №2.

Аналитическим способом, т.е. на основе формул взаимосвязи между

логическими операциями, докажите справедливость ниже приведенных тождеств. Затем с помощью диаграмм Эйлера – Венна подтвердите справедливость этого доказательства; представьте одно из выражений (предварительно его упростив) в базисе элементарных функции. В наборе номеров базисных функции должны фигурировать цифры вашего варианта. Например, для варианта 12 могут быть взяты следующие функции: , , . Недостающие функции отбираются на основе теории классов.

((a– d) (a ~ d)) – ((b – c) (b ~ c)) = ((b d) (a | b)) ((c d) | (a c))

Решение:

1. Докажем справедливость данных тождеств.

2) Строим диаграммы Эйлера-Венна.

Левая часть:	Правая часть:
A C D U B	A C B D U

=> тождество справедливо.

3) Представим одно из выражений в базисе элементарных функции

Таблица истинности:

x1	x2	f1	f11
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	1	1

Проверка на принадлежность к классам Поста:

P₀:

P₁:

S: , ;

, ;

M:

L: - нелинейная;

- нелинейная;

	P0	P1	S	M	L
f1	+	+	-	+	-
f11	-	+	-	-	-

Недостающая функция :

P0	P1	S	M	L
-	+	+	-	+

представим выражение в { , } – базисе.

Задача №3.

Воспользовавшись таблицами истинности, представьте логические выражения вашего варианта двух последних заданий в СПНФ. Затем произведите минимизацию методом карт Карно (результаты расчета проверьте с помощью таблиц истинности). Наконец, определите, к каким классам (P₀, P₁, S, M, L) относятся ваши логические выражения.

Решение:

1) Строим таблицу истинности.

.

A	b	c	d	f1	f2
0	0	0	0	0	1
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	0	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	0
1	0	1	1	0	0
1	1	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1
1	1	1	0	0	1
1	1	1	1	0	1

f₁:

f₂:

2. Минимизируем методом карт Карно.

Функция f₁=0 поэтому ее некорректно рассматривать в данном задании.

f₂:

		1
		1
		1	1	1	1
		1	1

3) Проверка на принадлежность к классам Поста:

P₀:

P₁:

S:

M:

L: - линейная;

- нелинейная.

	P0	P1	S	M	L
f1	+	-	+	-	+
f2	-	+	-	-	-

Задача №4.

Докажите аналитическим путем справедливость трех предложенных выражений в каждом варианте.

1. ((A ) ( C)) (( B) (B )) = 0;

2. (A – (B – C)) (A (B C));

3. (b (a c)) ((b c) a) = b a.

Решение:

1.

2.

3.

Задача №5.

Ниже приведены диаграммы Эйлера – Венна. Представьте заштрихованные и отдельно не заштрихованные области максимально компактными аналитическими выражениями, в которых бы использовалось минимальное количество логических операций и букв. С этой целью сначала выразите все заштрихованные области через конституенты – конъюнкты, а незаштрихованные через конституенты – дизъюнкты, и только после этого приступаете к упрощению совершенных форм (результаты проверьте на таблицах истинности).

1. Выразим все заштрихованные области :

Строим таблицу истинности:

A	b	c	d					f1
0	0	0	0	1	1	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1	0	0
0	0	1	0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	1	1	0
1	1	0	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0

Построим минимизирующие карты:

		0	0	0	0
		0	0	0	0
		0	0	0	0
		0	0	1	0

Строим таблицу истинности:

A	b	c	d					f2
0	0	0	0	1	1	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1	0	0
0	0	1	0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0

2. Выразим не заштрихованные области:

Строим таблицу истинности:

A	b	c	d					f1
0	0	0	0	1	1	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1	0	0
0	0	1	0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	1	0	0	0
1	1	0	0	0	0	1	1	0
1	1	0	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0

		0	0	0	0
		1	0	0	0
		0	0	0	0
		0	0	0	0

A	b	c	d					f2
0	0	0	0	1	1	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1	0	0
0	0	1	0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0	1	0
0	1	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	1	0	0	0
1	1	0	0	0	0	1	1	0
1	1	0	1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0

Вывод

В ходе выполнения работы мы мы освоили навыки решения задач, с помощью функций алгебры логики, выполняя задачи типа I, II, III.

39