МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ижевский государственный технический университет»
(ИжГТУ)
Факультет «Математики и естественных наук»
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
Дискретная математика
расчетно-графическая работа №2
Тема: «Функции алгебры логики»
(вариант №11)
Выполнил:
студент группы Б02-781-3
Шушпанов А.А.
Проверил:
ст. преподаватель
Юманова И.Ф.
Ижевск
2013
Задачи и упражнения iго – типа.
Задача:
Разработать тест распознавания
противоречивого задания недоопределенной
булевой функции
(функция задана противоречиво,
если (
)
(
)).
Решение: Чтобы не было противоречия необходимо проверить, в каких наборах 0 и 1 функция будет иметь противоречивость. Для примера пусть n=3, тогда функцию можно будет записать следующим способом:
а) -00 = 1, 100 б) 0-0 = 1, 010
0, 000 0, 000
в) 00- = 1, 001 г) --0 = 1, 110
0, 000 0, 000
д) -0- = 1, 101 е) 0-- = 1,011
0, 000 0, 000
Исходя из данной записи и можно выявить противоречивость функции, путем сравнения каждой пары аргументов для 0 и 1.
Задачи и упражнения iiго – типа.
Задача №1. Проверить полноту заданной системы функций. Для функционально полной системы выделить базис.
1) F={
,
},
где
=x
y,
=x
¬yz;
2) F={
,
,
,
},
где
=x¬y,
=x~yz,
=0,
=1;
3) F={
,
,
,
},
где
=(x
y)
(y~z),
=(x/(xy))
z,
=x
y,
=0;
4) F={ , , }, где =(0110 1001), =(1000 1101), =(0001 1100);
5) F={ , , }, где =(0100 0100), =(1111 1100), =(1000 0000).
Решение:
1.1 F={ , }, где =x y, =x ¬yz.
|
|
|
x y |
|
|
x ¬yz |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Критерий полноты
ФАЛ. Теорема
(Пост). Для полноты системы функций
необходимо и достаточно, чтобы для
каждого из классов
в Ф нашлась функция
,
ему не принадлежащая.
Проверка на принадлежность к классам Поста:
P0-класс функций, сохраняющих константу ноль.
(0,0)=1
;
(0,0,0)=1
;
P1- класс функций, сохраняющих константу единица.
(1,1)=1
;
(1,1,1)=0
;
S- класс самодвойственных функций.
Функция
называется самодвойственной, если она
совпадает с двойственной себе функцией,
т. е. имеет место равенство:
=
.
(0,1)=1,
(1,0)=0
;
(0,0,1)=1
(1,1,0)= 0
;
M -класс монотонных функций.
Функция
называется монотонной, если для любых
двух наборов
и
,
таких, что
,
имеет место равенство:
.
;
Данная функция
не
принадлежит
классу монотонных функций, так как
значение функции
(0,1)
(1,0), а набор (0,1)<(1,0). Для любых двух
наборов
и
,
таких, что
,
не выполняется равенство:
.
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,1) (1,0,0), а набор (0,1,1)<(1,0,0). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
L -класс линейных функций.
Функция
называется линейной, если она представима
в следующем виде:
,
где коэффициенты
,
{0,1},
=
.
:
=f(0,0)=1;
=
f(0,1)=1
1=0;
=
f(1,0)=1
0=1
( x, y, z ) = x y=1 0x 1y=1 y.
: =f(0,0,0)=1;
= f(1,0,0)=1 1=0;
= f(0,1,0)=1 0=1;
=
f(0,0,1)=1
1=0;
( x, y, z ) = x y z=1 0x 1y 0z=1 y.
|
|
|
x y |
1 y |
x ¬yz |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Функции , не принадлежат классу линейных функций.
-
P0
P1
S
M
L
-
+
-
-
-
-
-
-
-
-
Заданная система
функций F={
,
},
где
=x
y,
=x
¬yz
является
функционально полной. Выделяем
базис {
}.
F={ , , , }, где =x¬y, =x~yz, =0, =1,
|
|
|
|
=x |
yz |
=x~yz |
=0 |
=1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
y
Критерий полноты ФАЛ. Теорема (Пост). Для полноты системы функций необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов в Ф нашлась функция , ему не принадлежащая.
Проверка на принадлежность к классам Поста:
P0-класс функций, сохраняющих константу ноль.
(0,0)=0
;
(0,0,0)=1 ;
(0,0,0)=0
;
(0,0,0)=1
;
P1- класс функций, сохраняющих константу единица.
(1,1)=0
;
(1,1,1)=1
;
(1,1,1)=0
;
(1,1,1)=1
;
S- класс самодвойственных функций.
Функция называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной себе функцией, т. е. имеет место равенство: = .
(0,1)=0,
(1,0)=1
;
(0,0,1)=1 (1,1,0)= 0 ;
=0
;
=1 ;
M -класс монотонных функций.
Функция называется монотонной, если для любых двух наборов и , таких, что , имеет место равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (1,0) (1,1), а набор (1,0)<(1,1). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,0) (0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,11). Для любых двух наборов и , таких, что , выполняется равенство: .
;
Данная функция
принадлежит
классу монотонных функций, так как
значение функции
(0,1,0)
(0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,11). Для любых двух
наборов
и
,
таких, что
,
выполняется равенство:
.
;
Данная функция
принадлежит
классу монотонных функций, так как
значение функции
(0,1,0)
(0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,11). Для любых двух
наборов
и
,
таких, что
,
выполняется равенство:
.
L -класс линейных функций.
Функция называется линейной, если она представима в следующем виде:
, где коэффициенты , {0,1}, = .
: =f(0,0)=0;
= f(0,1)=0 0=0;
= f(1,0)=0 1=1;
( x, y, z ) = x y=0 1x 1y=1 у.
: =f(0,0,0)=1;
= f(1,0,0)=1 0=1;
= f(0,1,0)=1 1=0;
= f(0,0,1)=1 1=0;
( x, y, z ) = x y z=1 1x 0y 0z=1 x.
=0 по условию задачи.
=1 по условию задачи.
|
|
|
1 x |
=x y |
=x~yz |
=0 |
=1 |
1 у |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Функции , принадлежат классу линейных функций. Функции , не принадлежат классу линейных функций.
-
P0
P1
S
M
L
+
-
-
-
-
-
+
-
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
+
+
Заданная система функций F={ , , , }, где =x¬y, =x~yz, =0, =1,
является
функционально полной.
Выделяем базис {
}.
1.3. F={ , , , }, где =(x y) (y~z), =(x/(xy)) z, =x y, =0.
|
|
|
b:= |
= |
a:= y~z |
=(x/(xy)) z |
= x y |
=0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Критерий полноты ФАЛ. Теорема (Пост). Для полноты системы функций необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов в Ф нашлась функция , ему не принадлежащая.
Проверка на принадлежность к классам Поста:
P0-класс функций, сохраняющих константу ноль.
(0,0,0)=0 ;
(0,0,0)=0
;
(0,0,0)=0 ;
(0,0,0)=0
;
P1- класс функций, сохраняющих константу единица.
(1,1,1)=1
;
(1,1,1)=1 ;
(1,1,1)=0 ;
(1,1,1)=0
;
S- класс самодвойственных функций.
Функция называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной себе функцией, т. е. имеет место равенство: = .
(0,0,1)=0, (1,1,0)=1 ;
(0,1,0)=0 (1,0,1)= 1 ;
(0,1,0)=0
(1,0,1)= 0
;
=1 ;
M -класс монотонных функций.
Функция называется монотонной, если для любых двух наборов и , таких, что , имеет место равенство: .
;
Данная функция принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,0) (0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,1,1). Для любых двух наборов и , таких, что , выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,0) (0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,1,1). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (1,0,1) (1,1,0), а набор (1,0,1)<(1,1,0). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции =0.
L -класс линейных функций.
Функция называется линейной, если она представима в следующем виде:
, где коэффициенты , {0,1}, = .
: =f(0,0,0)=0;
= f(1,0,0)=0 0=0;
= f(0,1,0)=0 0=0;
= f(0,0,1)=0 0=0;
( x, y, z ) = x y z=0 0x 0y 0z=0.
: =f(0,0,0)=0;
= f(1,0,0)=0 0=0;
= f(0,1,0)=0 0=0;
= f(0,0,1)=0 1=1;
( x, y, z ) = x y z=0 0x 0y 1z=1 z.
: =f(0,0,0)=0;
= f(1,0,0)=0 1=1;
= f(0,1,0)=0 1=1;
= f(0,0,1)=0 0=0;
( x, y, z ) = x y z=0 1x 1y 0z=x y.
=0;
|
|
|
x y |
= |
1 z |
=(x/(xy)) z |
= x y |
=0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Функции , принадлежат классу линейных функций. Функции , не принадлежат классу линейных функций.
-
P0
P1
S
M
L
+
+
-
+
+
+
+
-
-
-
+
-
+
-
-
+
-
-
+
+
Заданная система функций
F={ , , , }, где =(x y) (y~z), =(x/(xy)) z, =x y, =0.
не является функционально полной.
F={ , , }, где =(0110 1001), =(1000 1101), =(0001 1100).
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Критерий полноты ФАЛ. Теорема (Пост). Для полноты системы функций необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов в Ф нашлась функция , ему не принадлежащая.
Проверка на принадлежность к классам Поста:
P0-класс функций, сохраняющих константу ноль.
(0,0,0)=0 ;
(0,0,0)=1 ;
(0,0,0)=0 ;
P1- класс функций, сохраняющих константу единица.
(1,1,1)=1 ;
(1,1,1)=1 ;
(1,1,1)=0 ;
S- класс самодвойственных функций.
Функция называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной себе функцией, т. е. имеет место равенство: = .
(0,0,1)=1, (1,1,0)=0 ;
(0,0,1)=0 (1,1,0)= 0 ;
(0,0,1)=0
(1,1,0)= 1
;
M -класс монотонных функций.
Функция называется монотонной, если для любых двух наборов и , таких, что , имеет место равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,0) (0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,11). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,0) > (0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,11). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,1,0) > (0,1,1), а набор (0,1,0)<(0,11). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
L -класс линейных функций.
Функция называется линейной, если она представима в следующем виде:
, где коэффициенты , {0,1}, = .
: =f(0,0,0)=0;
= f(1,0,0)=0 1=1;
= f(0,1,0)=0 1=1;
= f(0,0,1)=0 1=1;
( x, y, z ) = x y z=0 1x 1y 1z=x y z.
: =f(0,0,0)=1;
= f(1,0,0)=1 1=0;
= f(0,1,0)=1 0=1;
= f(0,0,1)=1 0=1;
( x, y, z ) = x y z=1 0x 1y 1z=1 y z.
: =f(0,0,0)=0;
= f(1,0,0)=0 1=1;
= f(0,1,0)=0 0=0;
= f(0,0,1)=0 0=0;
( x, y, z ) = x y z=0 1x 0y 0z=х.
|
|
|
|
|
|
1 y z |
x y z |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Функции , , не принадлежат классу линейных функций.
-
P0
P1
S
M
L
+
+
-
-
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
-
Заданная система функций F={ , , }, где =(0110 1001), =(1000 1101), =(0001 1100) является функционально полной. Выделим базис{ , },{ , },{ , , }.
1.5 F={ , , }, где =(0100 0100), =(1111 1100), =(1000 0000).
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Критерий полноты ФАЛ. Теорема (Пост). Для полноты системы функций необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов в Ф нашлась функция , ему не принадлежащая.
Проверка на принадлежность к классам Поста:
P0-класс функций, сохраняющих константу ноль.
(0,0,0)=0 ;
(0,0,0)=1 ;
(0,0,0)=1
;
P1- класс функций, сохраняющих константу единица.
(1,1,1)=0 ;
(1,1,1)=0 ;
(1,1,1)=0 ;
S- класс самодвойственных функций.
Функция называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной себе функцией, т. е. имеет место равенство: = .
(0,0,1)=1,
(1,1,0)=0
;
(0,0,1)=1 (1,1,0)= 0 ;
(0,0,0)=1 (1,1,1)= 0 ;
M -класс монотонных функций.
Функция называется монотонной, если для любых двух наборов и , таких, что , имеет место равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,0,0) > (0,0,1), а набор (0,0,0)<(0,0,1). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (1,0,1) > (1,1,0), а набор (1,0,1)<(1,1,0). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
;
Данная функция не принадлежит классу монотонных функций, так как значение функции (0,0,0) > (0,0,1), а набор (0,0,0)<(0,0,1). Для любых двух наборов и , таких, что , не выполняется равенство: .
L -класс линейных функций.
Функция называется линейной, если она представима в следующем виде: , где коэффициенты , {0,1}, = .
: =f(0,0,0)=0;
= f(1,0,0)=0 0=0;
= f(0,1,0)=0 0=0;
= f(0,0,1)=0 1=1;
( x, y, z ) = x y z=0 0x 0y 0z=0 z.
: =f(0,0,0)=1;
= f(1,0,0)=1 1=0;
= f(0,1,0)=1 1=0;
= f(0,0,1)=1 1=0;
( x, y, z ) = x y z=1 0x 0y 0z=1.
: =f(0,0,0)=1;
= f(1,0,0)=1 0=1;
= f(0,1,0)=1 0=1;
= f(0,0,1)=1 0=1;
( x, y, z ) = x y z=1 1x 1y 1z= 1 x y z
|
|
|
|
|
|
1 y z |
1 x y z |
0 z |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Функции , , не принадлежат классу линейных функций.
|
P0 |
P1 |
S |
M |
L |
|
+ |
- |
- |
- |
- |
|
- |
- |
- |
- |
- |
|
- |
- |
- |
- |
- |
Заданная система функций F={ , , }, где =(0100 0100), =(1111 1100), =(1000 0000) является функционально полной. Выделим базис { },{ },{ , },{ , },{ , , }.
Задача №2. Составить все возможные базисы из функций двух переменных.
Решение:
Система булевых
функций F:={
,...,
}
называется базисом,
если она полна, а для любой функций
S
система F\{
}
– неполна. Примеры базисов для двух
переменных, в каждом из которых нельзя
вычеркнуть ни одну функцию без потери
полноты.
{○},{|},{,&,},{,,},{,&,1},{,,1},{,},{,○},{,},{,},
{,},{,},{&,},{,1},{,}, {,&,0},{,,0}.
Задача №3. Для
заданной функции
:
1) построить таблицу истинности;
2) построить изображение на кубе;
З) найти СДНФ и СКНФ;
Решение:
3.1 Построим таблицу истинности :
a |
b |
c |
d |
f(a,b,c,d) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |