11. Правила побудови двоїстої задачі. Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.

Правила побудови двоїстих задач Якщо пряма задача лінійного програмування подана в стандарт­ному вигляді, то двоїста задача утворюється за такими правилами: 1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі. 2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі. 3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі – на визначення найменшого значення (min), і навпаки. 4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі. 5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі. 6. Матриця що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів у системі обмежень двоїстої задачі утворюються одна з одної транспонуванням, тобто заміною рядків стовпчиками, а стовпчиків – рядками.

Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (F_max) підприємство отримує за умови виробницт­ва продукції згідно з оптимальним планом  , однак таку саму суму грошей ( ) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами  . За умов використання інших планів     на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.

Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задачДля того, щоб плани X^* та Y^* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої не жорсткості

Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану Х^* прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планом Х^*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг  , то відповідна оцінка такого ресурсу  (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним». 

Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі   дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції   за відповідними аргументами  , або  (5.13) Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. 

12.Актуальність задачі цілочисельного ЛП. Математична постановка цілочисельних задач ЛП. Алгоритм Гоморі.

Цілочисельне програмування - різновид лінійного програмування, в якому отримані значення повинні бути цілими числами. Особливий інтерес до задач цілочисельного програмування викликаний тим, що в багатьох практичних задачах необхідно знаходити цілочисельне рішення, зважаючи на дискретність ряду значень шуканих змінних.

Задачу цілочислового програмування записують так :

Рішення завдання одним з методів групи симплекс-методів або групи методів внутрішньої точки без урахування вимоги целочисленности. Якщо отримане оптимальне рішення цілочисельності, то завдання виконане.

Нехай задана повністю цілочисельна лінійна задача Цілою частиною числа a називається найбільше ціле число [a], що не

перевищує a . Наприклад [ 25,2 ]= 2; [− 25,2 ]= −3. У першому методі Гомори всі обмеження формуються відповідно до рівнянь (5.11) - це і є відсікання нецілочисельних точок.

Алгоритм Гоморі - алгоритм, який використовується для рішення повністю цілочисельних завдань лінійного програмування. Алгоритм включає в себе:

1. Рішення завдання одним з методів групи симплекс-методів або групи методів внутрішньої точки без урахування вимоги целочисленности. Якщо отримане оптимальне рішення цілочисельності, то завдання виконане.

2. Складається додаткове обмеження для перемінної B [i], яка в оптимальному плані має максимальне дробове значення, хоча повинна бути цілою. Тоді величини коефіцієнтів елементів A [i, j] , B [i] обчислюються так:

де   - ціла частина числа A [i, j] . Тоді додаткове обмеження формується таким чином:

Воно буде цілим невід'ємним при цілих невід'ємних β [i, j] і ξ [j] Після складання обмеження воно вводиться в систему лінійних обмежень і завдання вирішується заново при вихідних обмеженнях і додаткове обмеження. Якщо отримано цілочисельне рішення, задача вирішена. В іншому випадку необхідно повторити другий етап.